Tröghetsmoment för låda

$\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathit{\zeta }\mathbf{-}\mathbf{riktning}$

Om vi tar de fyra sidorna har vi:

$I_{sida}=\frac{1}{12}m{b}^2+\frac{1}{4}m{b}^2$      där $m=\frac{M}{4}$ 

Totalt får vi då:

$I_{\zeta \zeta }=4I_{sida}=4(\frac{1}{12}m{b}^2+\frac{1}{4}m{b}^2)=\frac{4}{3}m{b}^2$

Notationen i Meriam & Kraiges Engineering Mechanics Dynamics avsnitt 7/11 ger att:

$\boxed{ I=I_{\zeta \zeta }=\frac{4}{3}m{b}^2 }$

$\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathit{\xi }\mathbf{-}\mathit{o}\mathit{c}\mathit{h}\mathbf{ }\mathit{\eta }\mathbf{-}\mathbf{riktning}$

För två av sidorna vilken axeln sammanfaller med har vi:

$I_{lateral}=\frac{1}{12}m(l^2+b^2)$

De andra två vilka inte gör det ger:

$I_{transversal}=\frac{1}{12}m{l}^2+\frac{1}{4}m{b}^2$

Detta ger totalt:

$I_{\xi \xi }=2I_{lateral}+2I_{transversal}=\frac{2}{12}m(l^2+b^2)+2(\frac{1}{12}m{l}^2+\frac{1}{4}m{b}^2)$

Eftersom vi har semisymmetri kommer $I_{\xi \xi }=I_{\eta \eta }$ och med M&Ks notation likt ovan får vi:

$\boxed{ I_0=I_{\xi \xi }=\frac{m}{3}(2b^2+l^2) }$

Ebola skrev:

$\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathit{\zeta }\mathbf{-}\mathbf{riktning}$

Om vi tar de fyra sidorna har vi:

$I_{sida}=\frac{1}{12}m{b}^2+\frac{1}{4}m{b}^2$      där $m=\frac{M}{4}$ 

Totalt får vi då:

$I_{\zeta \zeta }=4I_{sida}=4(\frac{1}{12}m{b}^2+\frac{1}{4}m{b}^2)=\frac{4}{3}m{b}^2$

Notationen i Meriam & Kraiges Engineering Mechanics Dynamics avsnitt 7/11 ger att:

$\boxed{ I=I_{\zeta \zeta }=\frac{4}{3}m{b}^2 }$

$\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathit{\xi }\mathbf{-}\mathit{o}\mathit{c}\mathit{h}\mathbf{ }\mathit{\eta }\mathbf{-}\mathbf{riktning}$

För två av sidorna vilken axeln sammanfaller med har vi:

$I_{lateral}=\frac{1}{12}m(l^2+b^2)$

De andra två vilka inte gör det ger:

$I_{transversal}=\frac{1}{12}m{l}^2+\frac{1}{4}m{b}^2$

Detta ger totalt:

$I_{\xi \xi }=2I_{lateral}+2I_{transversal}=\frac{2}{12}m(l^2+b^2)+2(\frac{1}{12}m{l}^2+\frac{1}{4}m{b}^2)$

Eftersom vi har semisymmetri kommer $I_{\xi \xi }=I_{\eta \eta }$ och med M&Ks notation likt ovan får vi:

$\boxed{ I_0=I_{\xi \xi }=\frac{m}{3}(2b^2+l^2) }$

Ok, tackar! Skulle du kunna förklara lite mer i detalj varför du använder exakt de värdena (alltså varför $I_{sida}, I_{lateral}, I_{transversal}$ ser ut som de gör)

Nedan har vi vår rektangulära platta där G står för axel genom plattans egna masscentrum:

Vi har att:

$$\begin{gathered} I_{G,\zeta }=\frac{1}{12}m{b}^2 \\ {I}_{G,\xi }=\frac{1}{12}m{l}^2 \\ {I}_{G,\eta }=\frac{1}{12}m(l^2+b^2) \end{gathered}$$

Om vi nu använder Steiners sats och flyttar alla dessa masströghetsmoment till vår globala axel får vi:

$$\begin{gathered} I_{sida}=I_{G,\zeta }+m(b/2{)}^2=\frac{1}{3}m{b}^2 \\ {I}_{transversal}=I_{G,\xi }+m(b/2{)}^2=\frac{1}{12}m{l}^2+\frac{1}{4}m{b}^2 \\ {I}_{lateral}=I_{G,\eta }=I_{\eta }=\frac{1}{12}m(l^2+b^2) \end{gathered}$$

Sedan handlar det bara om att förstå hur många av respektive vi har.