Tröghetsmoment

Du kan utnyttja Steiners sats.

Jag har försökt med det nu men får ej fram rätt värde på $I_G$. Jag vet att formeln för tröghetsmomentet för en smal stång är $I_G=\frac{m{l}^2}{12}$ och får det då till $I_G=\frac{m{\left(3b\right)}^2}{12}=\frac{3m{b}^2}{4}$. Detta verkar ej stämma. Ska jag räkna bort stången som är parallell med x-axeln och räkna ut olika masscentrum $I_{GX}$ $I_{GY }$och $I_{GZ}$? Eller ska jag kanske bara räkna på stången parallell med x-axeln för $I_{GX}$ och räkna på de andra två stängerna sen när jag använder steiners sats? Jag har läst sidorna i kurslitteraturen om tröghetsmoment samt kollat på videor och förstår vad det är, men kan ej hitta några liknande exempel och har svårt att applicera infon på detta problemet.

En detalj av ren kuggfrågekaraktär i den här uppgiften är att stångens massa anges till $m$, det betyder att varje delstång väger $m_d=m/3$

Vi börjar med att räkna ut $I_x$. Stången som ligger utmed x-axeln har inget tröghetsmoment kring sin egen axel eftersom stången är "smal".

Stången parallell med y-axeln hade du nästan fått rätt. Den ska förflyttas $b$ uppåt i z-led och $b/2$ i y-led.

Stången parallell med y-axeln bidrar därmed med

$\frac{1}{12}m_db^2+m_d(b^2+b^2/4)$

Stången parallell med z-axeln är bara förflyttad $b/2$ uppåt i z-led och bidrar därmed med

$\displaystyle \frac{m_db^2}{12}+\frac{m_db^2}{4}=\frac{m_db^2}{3}$

Nu kan man addera de två bidragen runt x-axeln för att erhålla $I_x$ och kom som sagt ihåg att $m_d=\frac13m$

D4NIEL skrev:

En detalj av ren kuggfrågekaraktär i den här uppgiften är att stångens massa anges till $m$, det betyder att varje delstång väger $m_d=m/3$

Vi börjar med att räkna ut $I_x$. Stången som ligger utmed x-axeln har inget tröghetsmoment kring sin egen axel eftersom stången är "smal".

Stången parallell med y-axeln hade du nästan fått rätt. Den ska förflyttas $b$ uppåt i z-led och $b/2$ i y-led.

Stången parallell med y-axeln bidrar därmed med

$\frac{1}{12}m_db^2+m_d(b^2+b^2/4)$

Stången parallell med z-axeln är bara förflyttad $b/2$ uppåt i z-led och bidrar därmed med

$\displaystyle \frac{m_db^2}{12}+\frac{m_db^2}{4}=\frac{m_db^2}{3}$

Nu kan man addera de två bidragen runt x-axeln för att erhålla $I_x$ och kom som sagt ihåg att $m_d=\frac13m$

Så är $\frac{1}{12}m_db^2$ själva $I_G$? Och i så fall, är det $I_G_X$ eller är det ett bidrag från stången vi just räknar på, alltså $I_G_Y$ alt $I_G_Z$? Eller är det något stången parallell med x-axeln bidrar med (trots att den inte borde ha någon tröghet runt sig själv)? 

Man kan på ett naturligt sätt dela upp stången i 3 delar, A, B och C

Delstång A har inget tröghetsmoment runt x-axeln eftersom den är "smal". Vid beräkning av tröghetsmomentet runt $x$-axeln ska vi räkna denna delstångs bidrag som 0.

Delstång B har enligt formelsamlingen $I_{x^\prime}=I_G=\frac{1}{12}m_db^2$ runt en axel $x^\prime$ som är parallell med $x$-axeln. Se bild ovan. För att räkna ut delstång Bs tröghetsmoment runt $x$-axeln parallellförflyttar vi b/2 längdenheter:

Delstång B bidrar med tröghetsmomentet $I_{Bx}=\frac{1}{12}m_db^2+m_d(b/2)^2$ runt $x-axeln$ enligt Steiners sats.

På samma sätt kan man parallellförflytta Delstång C. Summerar man sedan bidragen från B och C får man $I_x$, det totala tröghetsmomentet kring $x$-axeln för hela stången. Delstång A ger inte något bidrag till tröghetsmomentet kring $x$-axeln. På samma sätt kommer inte delstång B ge något bidrag till tröghetsmomentet $I_z$ runt $z$-axeln och så vidare.

Är du med?

Tusen tack för hjälpen! Nu är jag med! $I_G$ är alltså för varje stång separat. Tack för den utförliga förklaringen.