11 svar
297 visningar
Max123 behöver inte mer hjälp
Max123 85
Postad: 15 aug 2023 14:17

Tröghetsmatris

Hej,

 

Jag har problem med att förstå hur man bestämmer elementen i en tröghetsmatris. Det jag inte förstår är vad man integrerar med avseende på. Ett exempel kan vara om vi tänker oss två smala homogena stavar, vardera med massan moch längden a. De båda stavarna ligger på x respektive y-axeln och sitter ihop i origo. Om jag försöker bestämma det första elementet i matrisen, vilket är Ixxfår jag följande:

Ixx =y2 +z2dm =y2dm =y2 λdxdy =0a1dx0ay2dy = m a33

Givet att λ =ma. Inser att detta är knasigt men vet verkligen inte hur jag ska göra...

 

Tack på förhand,

Max

SaintVenant 3935
Postad: 15 aug 2023 17:51

Du kan inte beskriva ett areaelement för en endimensionell kropp. Masselementet dmdm är massan genom längden gånger ett linjeelement, vilket blir synonymt med en linjedensitet gånger en infinitesimal längd. 

För integralen y2 dm\int y^2 \ dm måste det således vara endast elementet dydy därför att du integrerar över element som roteras kring x-axeln med hävarmen y.

Det hjälper nog om du ritar en figur så som:

 

Max123 85
Postad: 15 aug 2023 17:59 Redigerad: 15 aug 2023 17:59

Hej,

 

Bilden var bra dock missade jag att skriva att stavarna börjar i origo sådant att de täcker axlarna på [0, a]. Då tror jag att jag är med. Om jag förstår dig rätt så gäller:

 

Ixx =y2dm =0aλy2dy =λa33 =ma213

samt

Iyy =x2dm =0aλx2dx =λa33 =ma213

osv.

 

Har jag fattat det rätt nu? 

SaintVenant 3935
Postad: 15 aug 2023 22:42 Redigerad: 15 aug 2023 22:45

Yes, ett resultat som du också kan dubbelkolla med formelblad eller tabeller eller google.

Följdfråga

Det är enkelt begripligt varför Izz=0I_{zz}=0 men vad är anledningen till att deviationsmomenten Ixy,Ixz,IyzI_{xy},I_{xz},I_{yz} är noll? Kan du formulera en lika enkel struktur med stavar på ett sätt så att någon av dessa eller alla är skilda från noll?

(Dessa kallas också tröghetsprodukter)

PATENTERAMERA Online 5983
Postad: 16 aug 2023 00:13

Izz = Ixx + Iyy 0, för plan kropp i xy-planet.

SaintVenant 3935
Postad: 16 aug 2023 07:52 Redigerad: 16 aug 2023 07:56
PATENTERAMERA skrev:

Izz = Ixx + Iyy 0, för plan kropp i xy-planet.

Haha, ja, så klart. Dumt av mig:

Izz=x2+y2 dm\displaystyle I_{zz}=\int \left(x^2+y^2\right) \ dm

Uppenbarligen inte lika med noll.

Max123 85
Postad: 16 aug 2023 08:19

Okej, här kommer då nästa problem för mig. Här vill jag väl integrera över båda axlarna eller?

Izz =x2 + y2dm =x2 + y2λ2dxdy =x33+xy2a0λ2dy=0aa33+ay2λ2dy =λ2ya33 + ay33a0 =ma2a43 +a43= m2a22a43 =m2a223

 

Detta blir ju knasigt med enheter med tanke på m2. Vart går jag fel?

SaintVenant 3935
Postad: 16 aug 2023 09:43 Redigerad: 16 aug 2023 09:46

Kom ihåg att du fortfarande har en linjedensitet så någon dubbelintegral blir det inte. Det blir exakt samma som tidigare men masselementet är inte samma hela tiden.

Alltså över området varierar beskrivningen av masselementet så att du får två olika integraler, en för när du tittar på tröghetsbidraget från x-axeln och en annan för y-axeln.

Tänk dig annars enkelt för att kontrollera din intuition att tröghetsmoment är additivt. Alltså ska du kunna räkna med en stav i taget och sedan lägga ihop:

Izz=x2 dm1+y2 dm2\displaystyle I_{zz} = \int x^2 \ dm_1 + \int y^2 \ dm_2

Kruxet är bara nu för dig att ta reda på dm1dm_1 och dm2dm_2.

Max123 85
Postad: 16 aug 2023 09:49

Hmm okej, så man delar på den helt enkelt?

Izz =x2 + y2dm =0ax2dm + 0ay2dm =0ax2λdx + 0ay2λdy  =ma223

Tror att jag har lite svårt att förstå konceptet med att dela upp integral på detta sättet bara.

SaintVenant 3935
Postad: 16 aug 2023 09:55 Redigerad: 16 aug 2023 10:01

Det kanske hjälper att försöka rita figur?

När man utför en volymsintegral, till exempel, över en kropp som består av en kub som sitter ihop med ett halvklot. Då är det behjälpligt om man delar upp området i två olika integraler med två olika typer av element.

Sedan är det strikt så att eftersom integraler är additiva linjära operationer har vi alltid att om integranden är en summa a+ba+b kan integralen delas upp till summan av integraler av aa respektive bb. Detta leder till att vi i detta fall enkelt kan se:

Izz=Ixx+Iyy\displaystyle I_{zz} = I_{xx} +I_{yy}

Max123 85
Postad: 16 aug 2023 17:02

Hej igen,

Insåg att jag inte riktigt förstår huruvida jag har bestämt tröghetsmatrisen map masscentrum eller origo. Hur vet jag vilket? Är det allmänt så att när man använder integralerna så bestämmer man det med avseende på masscentrum och sen får man använda Steiner sats för att få den för någon annan punk såsom origo.

Tänker jag rätt?

Mvh, Max

PATENTERAMERA Online 5983
Postad: 16 aug 2023 17:45

Du bestämmer matrisen med avseende på den punkt där du lägger origo i ditt koordinatsystem.

Svara
Close