Tröghetsmatris

Du kan inte beskriva ett areaelement för en endimensionell kropp. Masselementet $dm$ är massan genom längden gånger ett linjeelement, vilket blir synonymt med en linjedensitet gånger en infinitesimal längd. 

För integralen $\int y^2 \ dm$ måste det således vara endast elementet $dy$ därför att du integrerar över element som roteras kring x-axeln med hävarmen y.

Det hjälper nog om du ritar en figur så som:

Hej,

Bilden var bra dock missade jag att skriva att stavarna börjar i origo sådant att de täcker axlarna på [0, a]. Då tror jag att jag är med. Om jag förstår dig rätt så gäller:

$I_{xx} =\hspace{0.17em}{\int }_{}^{}{y}^{2}dm =\hspace{0.17em}{\int }_0^a\lambda y^{2}dy =\hspace{0.17em}\lambda \frac{a^3}{3} =\hspace{0.17em}m{a}^2\frac{1}{3}$

samt

$I_{yy} =\hspace{0.17em}{\int }_{}^{}{x}^{2}dm =\hspace{0.17em}{\int }_0^a\lambda x^{2}dx =\hspace{0.17em}\lambda \frac{a^3}{3} =\hspace{0.17em}m{a}^2\frac{1}{3}$

osv.

Har jag fattat det rätt nu? 

Yes, ett resultat som du också kan dubbelkolla med formelblad eller tabeller eller google.

Följdfråga

Det är enkelt begripligt varför $I_{zz}=0$ men vad är anledningen till att deviationsmomenten $I_{xy},I_{xz},I_{yz}$ är noll? Kan du formulera en lika enkel struktur med stavar på ett sätt så att någon av dessa eller alla är skilda från noll?

(Dessa kallas också tröghetsprodukter)

I_zz = I_xx + I_yy $\ne$0, för plan kropp i xy-planet.

PATENTERAMERA skrev:

I_zz = I_xx + I_yy $\ne$0, för plan kropp i xy-planet.

Haha, ja, så klart. Dumt av mig:

$\displaystyle I_{zz}=\int \left(x^2+y^2\right) \ dm$

Uppenbarligen inte lika med noll.

Okej, här kommer då nästa problem för mig. Här vill jag väl integrera över båda axlarna eller?

$$\begin{gathered} I_{zz} =\hspace{0.17em}\iint x^2 + y^{2}dm =\hspace{0.17em}\iint x^2 + y^2{\lambda }^{2}dxdy =\hspace{0.17em}\int {{\left[\frac{x^3}{3}+x{y}^2\right]}^a}_0{\lambda }^{2}dy \\ =\hspace{0.17em}{\int }_0^a{\left(\frac{a^3}{3}+a{y}^2\right)}^{}{\lambda }^{2}dy ={\lambda }^2{{\left[y\frac{a^3}{3} + a\frac{y^3}{3}\right]}^a}_0 =\hspace{0.17em}{\left(\frac{m}{a}\right)}^2\left(\frac{a^4}{3} +\frac{a^4}{3}\right) \\ = \frac{m^2}{a^2}\frac{2a^4}{3} =\hspace{0.17em}{m}^2{a}^2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Detta blir ju knasigt med enheter med tanke på $m^2$. Vart går jag fel?

Kom ihåg att du fortfarande har en linjedensitet så någon dubbelintegral blir det inte. Det blir exakt samma som tidigare men masselementet är inte samma hela tiden.

Alltså över området varierar beskrivningen av masselementet så att du får två olika integraler, en för när du tittar på tröghetsbidraget från x-axeln och en annan för y-axeln.

Tänk dig annars enkelt för att kontrollera din intuition att tröghetsmoment är additivt. Alltså ska du kunna räkna med en stav i taget och sedan lägga ihop:

$\displaystyle I_{zz} = \int x^2 \ dm_1 + \int y^2 \ dm_2$

Kruxet är bara nu för dig att ta reda på $dm_1$ och $dm_2$.

Hmm okej, så man delar på den helt enkelt?

$$\begin{gathered} I_{zz} =\hspace{0.17em}\iint x^2 + y^{2}dm ={\int }_0^a{x}^{2}dm + {\int }_0^a{y}^{2}dm \hspace{0.17em} \\ ={\int }_0^a{x}^2\lambda dx + {\int }_0^a{y}^2\lambda dy =\hspace{0.17em}m{a}^2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Tror att jag har lite svårt att förstå konceptet med att dela upp integral på detta sättet bara.

Det kanske hjälper att försöka rita figur?

När man utför en volymsintegral, till exempel, över en kropp som består av en kub som sitter ihop med ett halvklot. Då är det behjälpligt om man delar upp området i två olika integraler med två olika typer av element.

Sedan är det strikt så att eftersom integraler är additiva linjära operationer har vi alltid att om integranden är en summa $a+b$ kan integralen delas upp till summan av integraler av $a$ respektive $b$. Detta leder till att vi i detta fall enkelt kan se:

$\displaystyle I_{zz} = I_{xx} +I_{yy}$

Hej igen,

Insåg att jag inte riktigt förstår huruvida jag har bestämt tröghetsmatrisen map masscentrum eller origo. Hur vet jag vilket? Är det allmänt så att när man använder integralerna så bestämmer man det med avseende på masscentrum och sen får man använda Steiner sats för att få den för någon annan punk såsom origo.

Tänker jag rätt?

Mvh, Max

Du bestämmer matrisen med avseende på den punkt där du lägger origo i ditt koordinatsystem.