Trippelintegral, simplex/tetra

Området du har använt är en kub. Skulle det vara det? 

Jaaa, det har du rätt i! Just det, då måste vi väl istället göra så att vi får några intervalländar som beror på x, y eller z. Hmm ... Vad svårt det blev att göra detta i R^3. Här är en bild jag har försökt rita av området:

Vi kan iallafall låta $0\le z\le 1$ eftersom tetran ligger mot z-axeln. Så då kanske x och y kan låtas gå från [någon funktion av z] till 1?

En av dem är en funktion av två variabler, men annars håller jag med.

Jag tror det inte spelar någon roll vilken ordning man integrerar i.

Förstår ändå inte helt vilket intervall det blir. Om en av den ska vara en funktion av två variabler, blir det då exempelvis $0\le z\le 1, 0\le x\le 1, x\le y\le z$? Men det tycker jag inte verkar stämma.

Eller det borde väl för y snarare bli $0\le y\le [funktion av x och z]$? Eftersom vi ser att y = x = z testade jag med intervallen $0\le z\le 1, 0\le x\le 1, 0\le y\le x$, men det blev fel.

Intervallet för x beror också av z.

Notera att integralen är x-koordinaten för områdets tyngdpunkt gånger områdets volym.

Vi kan se området som en slags pyramid. En pyramids tyngdpunkt ligger på 1/4 av höjden. Volymen av en pyramid är basytan gånger höjden delat med 3.

Dvs vi får $\frac{1}{4}.\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}·1}{3}=\frac{1}{24}$.

Du kan, med eller utan eftertanke, definiera området K som vi skall integrera över enligt

K = $\{\left(x,y,z\right)$: $x,y,z\ge 0$, $x+y+z\le 1$$\}$.

Säg att vi vill specificera en punkt i området.

Vi börjar med att välja x-koordinaten. Vi kan då välja ett x sådant 0 $\le$x $\le$ 1.

Vi vill nu välja y-koordinaten. Eftersom vi redan valt x-värdet så sätter det vissa begränsningar på vilka y-värden vi kan välja. Vi kan bara välja y sådana att  0 $\le$ y $\le$ 1 - x.

Sist väljer vi z-värdet. Eftersom vi redan valt x- och y-värden så sätter det begränsningar på vilka z-värden vi kan välja. Vi kan bara välja z sådana att 0 $\le$ z $\le$ 1 - x - y.

Låt oss utnyttja detta för att sätt upp integralen.

$\underset{ K}{\iiint }xdxdydz$ = ${\int }_0^{1}x\left({\int }_0^{1-x}\left({\int }_0^{1-x-y}dz\right)dy\right)dx$ = ...

PATENTERAMERA skrev:

Du kan, med eller utan eftertanke, definiera området K som vi skall integrera över enligt

K = $\{\left(x,y,z\right)$: $x,y,z\ge 0$, $x+y+z\le 1$$\}$.

Säg att vi vill specificera en punkt i området.

Vi börjar med att välja x-koordinaten. Vi kan då välja ett x sådant 0 $\le$x $\le$ 1.

Vi vill nu välja y-koordinaten. Eftersom vi redan valt x-värdet så sätter det vissa begränsningar på vilka y-värden vi kan välja. Vi kan bara välja y sådana att  0 $\le$ y $\le$ 1 - x.

Sist väljer vi z-värdet. Eftersom vi redan valt x- och y-värden så sätter det begränsningar på vilka z-värden vi kan välja. Vi kan bara välja z sådana att 0 $\le$ z $\le$ 1 - x - y.

Låt oss utnyttja detta för att sätt upp integralen.

$\underset{ K}{\iiint }xdxdydz$ = ${\int }_0^{1}x\left({\int }_0^{1-x}\left({\int }_0^{1-x-y}dz\right)dy\right)dx$ = ...

Hur kommer man fram till x + y + z $\le$ 1?