Trippelintegral - sfäriska koordinater

Beräkna trippelintegralen

$\int \int \int_{T}^{} \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{(x + y)^{2} + (y + z)^{2} + (x + z)^{2} - 2 (x y + y z y + x z - 1)} d x d y d z$

där T är en kropp som ligger mellan ytorna

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$

Använd sfäriska koordinater.

Min tanke:

$x = r \sin θ \cos φ y = r \sin θ \sin φ z = r \cos θ |d e t T'| = r^{2} \sin θ d x d y d z = r^{2} \sin θ d r d φ d θ 1 \geq r \geq 4 0 \geq θ \geq π 0 \geq φ \geq 2 π$

Förenklar integralen:

$\int \int \int \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + 2} d x d y d z$

Är jag på rätt spår om jag påstår att täljaren går att skriva som r? Blir nämnaren $2 r^{2} + 2$ då?

Svara