Trippelintegral - sfäriska koordinater

Beräkna trippelintegralen 

$\int \int {\int }_T^{}\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{(x+y{)}^2+(y+z{)}^2+(x+z{)}^2-2(xy+yzy+xz-1)}dxdydz$

där T är en kropp som ligger mellan ytorna 

$$\begin{gathered} x^2+y^2+z^2=1 \\ {x}^2+y^2+z^2=4 \end{gathered}$$

Använd sfäriska koordinater.

Min tanke:

$$\begin{gathered} x=r \sin \theta \cos \phi \\ y= r \sin \theta \sin \phi \\ z= r \cos \theta \\ \left|det T\text{'}\right|= r^2 \sin \theta \\ dxdydz=r^2 \sin \theta drd\phi d\theta \\ 1\ge r\ge 4 \\ 0\ge \theta \ge \pi \\ 0\ge \phi \ge 2\pi \end{gathered}$$

Förenklar integralen:

$\int \int \int \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{2x^2+2y^2+2z^2+2}dxdydz$

Är jag på rätt spår om jag påstår att täljaren går att skriva som r? Blir nämnaren $2r^2+2$ då?