Trippelintegral sfär

En volymintegral är en integral över en volym, du integrerar inte över någon yta.

Glöm inte att multiplicera med volymelementet när du går över till sfäriska koordinater.

Hej, jag sitter på en likande fråga. Enda skillanden är att vi har radien a istället för radien 1 för sfären. Jag har skrivit ekvationen med sfäriska koordinater och löst ut R ur ekvationen: R$\le$a Vilket jag drar slutsatsen av att ena gränsen för vår kommande trippelintegral blir $0\le R\le a$

Men hur ser man/tolkar man att gränsen för vinklarna blir enligt ovan? Jag tänker att då de är en sfär borde gränsen för båda vinklarna bli $0\le 2\mathrm{\pi }$

Andreas Persson skrev:

Men hur ser man/tolkar man att gränsen för vinklarna blir enligt ovan? Jag tänker att då de är en sfär borde gränsen för båda vinklarna bli $0\le 2\mathrm{\pi }$

Nej, tänk på vad vinklarna θ och Φ står för vid övergång till sfäriska koordinater. Om båda vinklarna går från 0 till 2pi så täcks sfären två gånger och inte en gång.

Jroth: betyder volymelement samma som jacobodeterminanten?

Qetsiyah skrev:

Jroth: betyder volymelement samma som jacobodeterminanten?

Ja, på sätt och vis blir absolutbeloppet av jacobideterminanten ett mått på volymskalan.

Ett volymelement $\mathrm{d}\overline{x}^1\dots\mathrm{d}\overline{x}^n$ avbildas på volymelementet

$\displaystyle dV=|\frac{\partial \overline{x}^j}{\partial x^h}|\mathrm{d}\overline{x}^1\dots \mathrm{d}\overline{x}^n$

Med dina nyvunna kunskaper från din tensortråd och lagen om determinanter noterar vi att det är samma sak som $\sqrt{g}$, ty

$g_{hk}=\frac{\partial \overline{x}^j}{\partial x^h}\frac{\partial \overline{x}^j}{\partial x^k}$

$g=det(\frac{\partial \overline{x}^j}{\partial x^h})det(\frac{\partial \overline{x}^j}{\partial x^k})=J^2$

$\sqrt{g}=|J|$

Nää här gick det lite snabbt? Vad är g?

$\sqrt{g}$, är per definition skalelementet i en avbildning.  I två dimensioner är det areaelementet, i 3 dimensioner volymelementet.

$g$ är determinanten av den metriska tensorn för avbildningen.

Låt oss anta att vi har en transformation $\overline{x}^j=\overline{x}^j(x^h)$.

Jacobianen, eller "Jacobimatrisen" för avbildningen ges då av

$J^j_h=\frac{\partial \overline{x}^j}{\partial x^h}$

Om vi multiplicerar Jacobimatrisens transponat med Jacobimatrisen, $J^TJ$,  får vi matrisrepresentationen av den metriska tensorn för avbildningen, jmfr

$g_{hk}=J^j_hJ^j_k$