Trippelintegral kon

Gå över till polära koordinater.

Smaragdalena skrev:

Gå över till polära koordinater.

Är det ett måste? Är det inte lika lätt att göra den i de ursprungliga variablerna? Och om jag skulle gå över till polära, vilken typ av polära blir det? (då det är en kon). Och om jag skulle behålla nuvarande, hur uttrycker gränserna i x,y? Z går ju från 0-1 men går x från 0 till sqrt(z^2-y^2) och dy från 0 till sqrt(z^2-x^2)?

Hej,

För fixerat $z\in[0,1]$ och fixerat $y\in[-z,z]$ kommer $-\sqrt{z^2-y^2}\leq x \leq \sqrt{z^2-y^2}$. Varsågod och integrera!

Albiki skrev:

Hej,

För fixerat $z\in[0,1]$ och fixerat $y\in[-z,z]$ kommer $-\sqrt{z^2-y^2}\leq x \leq \sqrt{z^2-y^2}$. Varsågod och integrera!

Hur fick du fram gränserna för y och x? Hur tänkte du?

Du får ju gränsen x2 + y2 = z2 i frågan, så det är bara att lösa ut x. Poängen var väl att visa att det inte är en så bra ide.

Jag tror att det går bra att lösa på flera olika sätt, så testa med de polära koordinater som du kan bäst och se hur långt du kommer.

För framtida läsare med samma problem, byt till cylindriska koordinater. Så det blir:

Blir helt plötsligt väldigt lätt att lösa. Tack för hjälpen!

Hej,

Om man använder rektangulära koordinater får man följande beräkningar.

    $\displaystyle\int_{z=0}^{1}\left\{\int_{y=-z}^{z}\left\{\int_{x=-\sqrt{z^2-y^2}}^{\sqrt{z^2-y^2}}x^2+y^2\,dx\right\}\,dy\right\}\,dz\\=\int_{z=0}^{1}\left\{\int_{y=-z}^{z}2\frac{(z^2-y^2)^{1.5}}{3}+2y^2\sqrt{z^2-y^2}\,dy\right\}\,dz$

Hur integrerar man detta nu då?

Med Wolfram Alphas hjälp leds man till den inre y-integralen är på formen

    $\displaystyle a_zy\sqrt{z^2-y^2}\left(b_z +c_zy^2\right)+d_z\arcsin \frac{y}{z}$

där koefficienterna $a_z$ och $b_z$ och $c_z$ och $d_z$ identifieras genom att derivera formen partiellt med avseende på $y$ och jämföra med den inre y-integralens integrand.