Trippelintegral inuti en pyramid

Bottenplanet kan du beskriva genom att 0<x<1 och att x<y<1. Ser du det? En "halv enhetskvadrat".

Om man tänker på liknande sätt i tre dimensioner, så ser du att z inom det bottenplan vi just beskrev går mellan noll och... ja, vad då?

Bubo skrev:

Bottenplanet kan du beskriva genom att 0<x<1 och att x<y<1. Ser du det? En "halv enhetskvadrat".

Om man tänker på liknande sätt i tre dimensioner, så ser du att z inom det bottenplan vi just beskrev går mellan noll och... ja, vad då?

Så Z går mellan 0 och 1? Och hur ska man tänka när man tar fram dessa olikheter för att beskriva bottenplanet?

Bubo skrev:

Bottenplanet kan du beskriva genom att 0<x<1 och att x<y<1. Ser du det? En "halv enhetskvadrat".

Om man tänker på liknande sätt i tre dimensioner, så ser du att z inom det bottenplan vi just beskrev går mellan noll och... ja, vad då?

Eller ska man skriva z som x<y<z? Eftersom vi har y=z som en gräns precis som y=x

Börja med det jag kallar bottenplan, alltså ytan där z=0. Där har du tre punkter givna. Rita ut dem så ser du hur bottenytan ser ut.

Men kroppen är en pyramid, inte ett prisma. För en punkt i bottenarean sträcker sig kroppen inte ända upp till z=1.

Det kan vara knepigt att rita en figur, men försök!

Bubo skrev:

Börja med det jag kallar bottenplan, alltså ytan där z=0. Där har du tre punkter givna. Rita ut dem så ser du hur bottenytan ser ut.

Men kroppen är en pyramid, inte ett prisma. För en punkt i bottenarean sträcker sig kroppen inte ända upp till z=1.

Det kan vara knepigt att rita en figur, men försök!

Ja jag har ritat en figur. Ser att bottenplanet begränsas av y=1, x=y och z=0 och att z endast är = 1 då y=1, men vet inte riktigt hur den sista olikheten för z kommer se ut

Bottenplanet begränsas av  0<y<1 och  0<x<y. Samma sak kan uttryckas som 0<x<1 och x<y<1.

Rita bottenplanet på ett papper. Placera två fingertoppar i de övriga två punkterna. Nu går det förhoppningsvis att "tänka fram" hur pyramiden ser ut.

Bubo skrev:

Rita bottenplanet på ett papper. Placera två fingertoppar i de övriga två punkterna. Nu går det förhoppningsvis att "tänka fram" hur pyramiden ser ut.

Jag vet redan hur pyramiden ser ut, det jag inte vet är hur jag ska skriva olikheten. x<y<z? Är detta rätt? Det är det enda jag kommer på. Om detta inte är rätt så måste du nog bara ge mig svaret så jag kan tänka baklänges

Eller är det kanske bara samma sak som för xy planet? Dvs z < y < 1?

Bubo skrev:

Rita bottenplanet på ett papper. Placera två fingertoppar i de övriga två punkterna. Nu går det förhoppningsvis att "tänka fram" hur pyramiden ser ut.

Det jag har nu som mina "slutolikheter" är:

$0\le x\le 1$

$x\le y\le 1$

$0\le z\le y$

Hoppas detta är rätt, detta har tagit längre tid än det borde :)

Edit: Tror detta är fel för integraler blir näst intill olösbar

Snabbt inlägg en fredagkväll...

Nja, nästan. Det är rätt på 0<x<1 och x<y<1, som ger det här området i xy-planet, "golvet i pyramiden" om vi kallar det så.

Men hur blir z? Tänk på linjen mellan (0,0) och (1,1), den diagonala i figuren ovan. "Taket" i pyramiden kommer att gå ner till den linjen. Det påminner lite om ett vikingahus där taket når ända ner till marken.

"Taket" i punkt D når alltså ner till (0.7 , 0.7, 0) och om vi skulle klättra på "taket" från punkt D till punkt E så skulle vi gå från höjden (z-värdet) noll till höjden (z-värdet) ett.

Det jag har ritat som punkt (0,1) i xy-planet är TVÅ punkter givna i uppgiften: en på "golvet" (0,1,0) och en på "taket" (0,1,1). Samma sak för (1,1) i xy-planet.

Hur blir ekvationen för linjen DE? Tänk på att 0.7 i just den här linjen motsvaras av "x" i de parallella linjer vi kan dra för att "klättra längs taket"

Nu ska vi se...

x går från noll till ett.

y går från x till ett

z är det knepiga "taket". För de y som är större än x går "taket" från noll då y=x upp till ett då y=1. Den linjen har jag ritat ett exempel på här ovan, där x råkar vara 0.7 i exemplet. Linjen är z = (y-0.7) / (1-0.7) och rent allmänt blir ekvationen för z 

z = (y-x) / (1-x) för de y som är från x till 1.

Trippelintegralen  blir då

${\int }_0^1{\int }_x^1{\int }_0^{\frac{y-x}{1-x}}\sin (\pi y^{3)} dz dy dx$

men nu börjar det kännas som om jag har gjort fel. Det blir kanske enklare om man ser pyramiden från ett annat håll. Börja med xz-planet i stället för xy-planet. Då kan man integrera med avseende på y först.

x går från noll till ett.

z går från noll till (1-x)

y går då från någonting till ett. Nu har jag svårt att se pyramiden... Det här får jag fundera mer på.