Trippelintegral - delsteg

Uppgift 4b:

Facit gör något som jag är mycket tveksam till, de delar på integralerna när de inte är helt oberoende av varandra. Den sista integralen beror ju av $z$, och därför borde man inte få dela på $r$- och $z$-integralerna. Jag skulle hellre ha sett att man skrivit:

$\displaystyle\int_0^{2\pi}\ d\theta\int_0^1\int_0^z \frac{\sin(z)}{z}\cdot r\ dr\ dz=2\pi\int_0^1\frac{\sin(z)}{z}\int_0^z r\ dr\ dz=2\pi\int_0^1\frac{\sin(z)}{\cancel{z}}\cdot\frac{z^\cancel{2}}{2}\ dz=$

$\displaystyle=\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{2}}\int_0^1 z\sin\left(z\right)\ dz$

Det är alltså integralen längst till höger som möjliggör förenklingen av mittenintegralen. Men eftersom integralen längst till höger beror av $z$ får man inte dela på integralerna så det är faktiskt fel i facit, dock denna gång utan några allvarligare konsekvenser än lite förvirring.

blygummi, det står i Pluggakutens regler att varje fråga skall ha en egen tråd. Här verkar det vara så att både b-och c-uppgiften handlar om integraler i flera dimensioner, men det handlar inte om sammma integral eller samma område. Gör en ny tråd för c-uppgiften! Jag stryker över den delen i den här uppgiften för att minska risken att svar på båda frågorna skall hamna i samma tråd och göra det rörigt. /moderator

Uppgift 4c:

Här använder man sig av det faktum att en integral med integranden $1$ ger arean av integrationsområdet. Eftersom $x^2+y^2\leq z$ beskriver en cirkelskiva med radie $\sqrt{z}$ kan vi använda oss av den gamla vanliga högstadieformeln $\pi R^2$ för att få arean.

$\displaystyle\int_1^2\iint_{x^2+y^2\leq z}\ dxdy\ dz=\int_1^2 \text{area}\left(x^2+y^2\leq z\right)\ dz=\int_1^2 \pi\left(\sqrt{z}\right)^2\ dz=...$

Notera att man återigen gör sig skyldig till att dela på integralerna när man egentligen inte får det om man skriver som facit gör det.

Strök över c-frågan, eftersom det bara skall vara en fråga i varje tråd /Smaragdalena, moderator

AlvinB skrev:

Uppgift 4b:

Facit gör något som jag är mycket tveksam till, de delar på integralerna när de inte är helt oberoende av varandra. Den sista integralen beror ju av $z$, och därför borde man inte få dela på $r$- och $z$-integralerna. Jag skulle hellre ha sett att man skrivit:

$\displaystyle\int_0^{2\pi}\ d\theta\int_0^1\int_0^z \frac{\sin(z)}{z}\cdot r\ dr\ dz=2\pi\int_0^1\frac{\sin(z)}{z}\int_0^z r\ dr\ dz=2\pi\int_0^1\frac{\sin(z)}{\cancel{z}}\cdot\frac{z^\cancel{2}}{2}\ dz=$

$\displaystyle=\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{2}}\int_0^1 z\sin\left(z\right)\ dz$

Det är alltså integralen längst till höger som möjliggör förenklingen av mittenintegralen. Men eftersom integralen längst till höger beror av $z$ får man inte dela på integralerna så det är faktiskt fel i facit, dock denna gång utan några allvarligare konsekvenser än lite förvirring.

Tack, jag förstod faktist!

Smaragdalena skrev:

blygummi, det står i Pluggakutens regler att varje fråga skall ha en egen tråd. Här verkar det vara så att både b-och c-uppgiften handlar om integraler i flera dimensioner, men det handlar inte om sammma integral eller samma område. Gör en ny tråd för c-uppgiften! Jag stryker över den delen i den här uppgiften för att minska risken att svar på båda frågorna skall hamna i samma tråd och göra det rörigt. /moderator

Jag är ledsen att jag bröt mot reglerna! Jag förstod det som en fråga, alltså, såsom i detta fallet ”fråga 4” men är nu med på hur det ligger till! Får göra ett nytt inlägg i sådana fall! Tack för att du behöll fråga b)!