Trippelintegral
Jag förstår inte vad integrationsgränserna för x, y, z ska vara?
Du får sätta upp en fri variabel, t.ex. x, och sedan uttrycka hur y och z beror av x.
Calle_K skrev:Du får sätta upp en fri variabel, t.ex. x, och sedan uttrycka hur y och z beror av x.
Jag satte att x går från 0 till 1 och då går både y och z från 0 till linjen y=-x+1 och z=-x+1. Men det blev fel
Du satte upp den andra variabeln, y, rätt. Men när det kommer till den tredje variabeln, z, så kommer denna bero på båda de tidigare variablerna.
Om det känns enklare kan du tänka dig att du integrerar över en triangel i xy-planet med ett "tak" z=f(x,y) över.
Taket ligger i ett plan och det planets ekvation kan hjälpa dig lösa ut höjden f(x,y).
Calle_K skrev:Du satte upp den andra variabeln, y, rätt. Men när det kommer till den tredje variabeln, z, så kommer denna bero på båda de tidigare variablerna.
Men är inte y=0 där?
Maja9999 skrev:Calle_K skrev:Du satte upp den andra variabeln, y, rätt. Men när det kommer till den tredje variabeln, z, så kommer denna bero på båda de tidigare variablerna.
Men är inte y=0 där?
y=0 ute vid spetsen där x=1, men behöver inte vara det på resten av området.
T.ex ingår punkterna (0.5, 0.5, 0), och (0.5, 0, 0.5) i områdets rand. Därmed kommer z-koordinaten variera om y-varierar, även då x är fix.
Calle_K skrev:Maja9999 skrev:Calle_K skrev:Du satte upp den andra variabeln, y, rätt. Men när det kommer till den tredje variabeln, z, så kommer denna bero på båda de tidigare variablerna.
Men är inte y=0 där?
y=0 ute vid spetsen där x=1, men behöver inte vara det på resten av området.
T.ex ingår punkterna (0.5, 0.5, 0), och (0.5, 0, 0.5) i områdets rand. Därmed kommer z-koordinaten variera om y-varierar, även då x är fix.
Aa juste, kommer dock inte på hur jag ska hitta z som funktion av de andra?
Maja9999 skrev:Calle_K skrev:Maja9999 skrev:Calle_K skrev:Du satte upp den andra variabeln, y, rätt. Men när det kommer till den tredje variabeln, z, så kommer denna bero på båda de tidigare variablerna.
Men är inte y=0 där?
y=0 ute vid spetsen där x=1, men behöver inte vara det på resten av området.
T.ex ingår punkterna (0.5, 0.5, 0), och (0.5, 0, 0.5) i områdets rand. Därmed kommer z-koordinaten variera om y-varierar, även då x är fix.
Aa juste, kommer dock inte på hur jag ska hitta z som funktion av de andra?
Det kanske inte är helt lätt att inse (men det är en 'favorit' inom linjär algebra) att planet (i form av en lutande triangel enligt din bild) ges av ekvationen x+y+z=1. Därmed har du ett uttryck för z, uttryckt i x och y.
Att det är ett plan ges av att det är en sida i tetraedern.
Låt oss då anta att planets ekvation är
ax+by+cz+d=0
Sätt in de givna koordinaterna och du får
a*1+b*0+c*0+d=0
a*0+b*1+c*0+d=0
a*0+b*0+c*1+d=0
a+d=0
b+d=0
c+d=0
vilket ger a=b=c=-d och planet kan skrivas
(-d)x + (-d)y + (-d)z + d = 0
-x -y -z + 1 = 0
x+y+z = 1
Trinity2 skrev:Maja9999 skrev:Calle_K skrev:Maja9999 skrev:Calle_K skrev:Du satte upp den andra variabeln, y, rätt. Men när det kommer till den tredje variabeln, z, så kommer denna bero på båda de tidigare variablerna.
Men är inte y=0 där?
y=0 ute vid spetsen där x=1, men behöver inte vara det på resten av området.
T.ex ingår punkterna (0.5, 0.5, 0), och (0.5, 0, 0.5) i områdets rand. Därmed kommer z-koordinaten variera om y-varierar, även då x är fix.
Aa juste, kommer dock inte på hur jag ska hitta z som funktion av de andra?
Det kanske inte är helt lätt att inse (men det är en 'favorit' inom linjär algebra) att planet (i form av en lutande triangel enligt din bild) ges av ekvationen x+y+z=1. Därmed har du ett uttryck för z, uttryckt i x och y.
Att det är ett plan ges av att det är en sida i tetraedern.
Låt oss då anta att planets ekvation är
ax+by+cz+d=0
Sätt in de givna koordinaterna och du får
a*1+b*0+c*0+d=0
a*0+b*1+c*0+d=0
a*0+b*0+c*1+d=0
a+d=0
b+d=0
c+d=0
vilket ger a=b=c=-d och planet kan skrivas
(-d)x + (-d)y + (-d)z + d = 0
-x -y -z + 1 = 0
x+y+z = 1
tack!! Men då gjorde jag såhär och fick z=0. Känns fel?
Maja9999 skrev:Trinity2 skrev:Maja9999 skrev:Calle_K skrev:Maja9999 skrev:Calle_K skrev:Du satte upp den andra variabeln, y, rätt. Men när det kommer till den tredje variabeln, z, så kommer denna bero på båda de tidigare variablerna.
Men är inte y=0 där?
y=0 ute vid spetsen där x=1, men behöver inte vara det på resten av området.
T.ex ingår punkterna (0.5, 0.5, 0), och (0.5, 0, 0.5) i områdets rand. Därmed kommer z-koordinaten variera om y-varierar, även då x är fix.
Aa juste, kommer dock inte på hur jag ska hitta z som funktion av de andra?
Det kanske inte är helt lätt att inse (men det är en 'favorit' inom linjär algebra) att planet (i form av en lutande triangel enligt din bild) ges av ekvationen x+y+z=1. Därmed har du ett uttryck för z, uttryckt i x och y.
Att det är ett plan ges av att det är en sida i tetraedern.
Låt oss då anta att planets ekvation är
ax+by+cz+d=0
Sätt in de givna koordinaterna och du får
a*1+b*0+c*0+d=0
a*0+b*1+c*0+d=0
a*0+b*0+c*1+d=0
a+d=0
b+d=0
c+d=0
vilket ger a=b=c=-d och planet kan skrivas
(-d)x + (-d)y + (-d)z + d = 0
-x -y -z + 1 = 0
x+y+z = 1
z=1-x-y är ytan och du har då 0≤z≤1-x-y
Hur ser området ut i xy-planet? Vilket är sambandet mellan x och y i xy-planet? Vilka gränser varierar x och y mellan?
Trinity2 skrev:Maja9999 skrev:Trinity2 skrev:Maja9999 skrev:Calle_K skrev:Maja9999 skrev:Calle_K skrev:Du satte upp den andra variabeln, y, rätt. Men när det kommer till den tredje variabeln, z, så kommer denna bero på båda de tidigare variablerna.
Men är inte y=0 där?
y=0 ute vid spetsen där x=1, men behöver inte vara det på resten av området.
T.ex ingår punkterna (0.5, 0.5, 0), och (0.5, 0, 0.5) i områdets rand. Därmed kommer z-koordinaten variera om y-varierar, även då x är fix.
Aa juste, kommer dock inte på hur jag ska hitta z som funktion av de andra?
Det kanske inte är helt lätt att inse (men det är en 'favorit' inom linjär algebra) att planet (i form av en lutande triangel enligt din bild) ges av ekvationen x+y+z=1. Därmed har du ett uttryck för z, uttryckt i x och y.
Att det är ett plan ges av att det är en sida i tetraedern.
Låt oss då anta att planets ekvation är
ax+by+cz+d=0
Sätt in de givna koordinaterna och du får
a*1+b*0+c*0+d=0
a*0+b*1+c*0+d=0
a*0+b*0+c*1+d=0
a+d=0
b+d=0
c+d=0
vilket ger a=b=c=-d och planet kan skrivas
(-d)x + (-d)y + (-d)z + d = 0
-x -y -z + 1 = 0
x+y+z = 1
z=1-x-y är ytan och du har då 0≤z≤1-x-y
Hur ser området ut i xy-planet? Vilket är sambandet mellan x och y i xy-planet? Vilka gränser varierar x och y mellan?
hmm vänta nu förstår jag inte? området i xy är väl en triangel med lutning -1?
hmm vänta nu förstår jag inte? området i xy är väl en triangel med lutning -1?
Ja, det är sant.
Om vi delar upp frågeställningen.
1) Vilka är gränserna för x?
2) För ett givet x in intervallet besvarat i 1), vilka är gränserna för y?
Trinity2 skrev:hmm vänta nu förstår jag inte? området i xy är väl en triangel med lutning -1?Ja, det är sant.
Om vi delar upp frågeställningen.
1) Vilka är gränserna för x?
2) För ett givet x in intervallet besvarat i 1), vilka är gränserna för y?
gränserna för x är [0,1] och
gränserna för y blir då från y=0 till y =-x+1? eller hurdå?
Maja9999 skrev:Trinity2 skrev:hmm vänta nu förstår jag inte? området i xy är väl en triangel med lutning -1?Ja, det är sant.
Om vi delar upp frågeställningen.
1) Vilka är gränserna för x?
2) För ett givet x in intervallet besvarat i 1), vilka är gränserna för y?
gränserna för x är [0,1] och
gränserna för y blir då från y=0 till y =-x+1? eller hurdå?
Perfekt
0≤x≤1
0≤y≤-x+1
0≤z≤1-x-y
Du är nu klar och kan börja integrera
Trinity2 skrev:Maja9999 skrev:Trinity2 skrev:hmm vänta nu förstår jag inte? området i xy är väl en triangel med lutning -1?Ja, det är sant.
Om vi delar upp frågeställningen.
1) Vilka är gränserna för x?
2) För ett givet x in intervallet besvarat i 1), vilka är gränserna för y?
gränserna för x är [0,1] och
gränserna för y blir då från y=0 till y =-x+1? eller hurdå?
Perfekt
0≤x≤1
0≤y≤-x+1
0≤z≤1-x-y
Du är nu klar och kan börja integrera
ahhh tack så jättemycket!
