Trippelintegral

Beräkna $\int \int \int z d x d y d z ö v e r K$ där K är området som satisfieras av $x^{2} + y^{2}$ $\leq$ z $\leq$ $\sqrt{2 - x^2 - y^2}$ .

Jag började med att lösa x^2 + y^2 = sqrt(2 - x^2 -y^2).

Jag kom fram till att skärningskurvan av ytorna är en cirkel med radien 1. Ty de skär varandra där x^2 + y^2 = 1.

Då kom jag fram till att z = 1 där också.

Då kom jag fram till att $ϕ$ = pi/4 genom att använda trigonometri. (Förlåt om jag blandar ihop tecknena men jag menar den som har värdemängd 0 till pi.)

Så jag skrev om trippelintegralen till $\int_{0}^{2 p i} \int_{0}^{p i / 4} \int_{0}^{\sqrt{2}} p * \cos ϕ * p^2 * \sin ϕ d p d ϕ d φ$ .

Jag fick det hela till pi^2/2. Är det korrekt?

När området är helt symmetriskt med x och y kan du sätta en av dem till 0 och ganska lätt rita upp en bild. Din undre gräns verkar vara en linje, men i frågan är det en andragradare. Tror det är lättare att använda cylinderkoordinater här.

Försökte rita det åt dig, men det verkar omöjligt att ladda upp bild idag..

Svara