Trippelintegral

Hej, kan någon hjälpa mig förklara denna uppgift:

$\iint \int_{K} e^{x + y + z} d x d y d z$

där K= $(x, y, z) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1$

Jag har börjat med att sätta $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (\int_{0}^{1} e^{x} e^{y} e^{z} d z) d y) d x$ och sedan $\int_{0}^{1} (\int_{0}^{1} {[e^{x} e^{y} e^{z}]}^{1}_{0} d y) d x$

och ser att jag kommer att tillslut kunna få ut ${[e^{x}]}^{1}_{0} {[e^{y}]}^{1}_{0} {[e^{z}]}^{1}_{0} = (e - 1)^{3}$

Det jag inte riktigt är med på är hur man ska svara på frågan när då det bara i vissa fall går att skriva som produkt av enkelintegraler och varför trippelintegralen i detta fall kan skrivas som produkt av enkelintegarler.

Sedan ska man även förklara hur kroppen ser ut.

Ditt område är

K=(x,y,z): 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1

Ser du att gränsen i t.ex x-led är oberoende av y och z? När det är så i alla 3 variabler så är trippelintegralen produkten av 3 enkelintegraler.

hur ser K ut i det här fallet?

ja eftersom vi har $0 \leq x \leq 1$ alltså ingen av gränserna innehåller y eller z

och samma sak för y och z

så om vi hade haft exempelvis $0 \leq x \leq 1 - y$ hade vi inte kunnat skriva trippelintegralen som en produkt av tre enkelintegralen?

Ok, det blir alltid produkten av tre enkelintegraler, men då gränsen i t.ex x-led beror på y (eller z) så kommer integranden att förändras när du utför x-integralen. Gränserna i x-led bestämmer då viken integrand du får i t.ex y-led.

jnkpg skrev :
ja eftersom vi har $0 \leq x \leq 1$ alltså ingen av gränserna innehåller y eller z
och samma sak för y och z
så om vi hade haft exempelvis $0 \leq x \leq 1 - y$ hade vi inte kunnat skriva trippelintegralen som en produkt av tre enkelintegralen?

Om du har en trippelintegral så integrerar du över en variabel i taget. Detta innebär att om du som i ditt fall integrerar över z först så kan du bryta ut det som är x och y-beroende eftersom dessa är konstanta i förhållande till z. Därför blir det är en produkt av tre enkelintegraler, eftersom du bara integrerar ett ensamt e^a, där a är x, y eller z beroende på vilken variabel du integrerar över.

Produkten av tre enkelintegraler blir det bara om funktionen också är av typen f(x)g(y)h(z).

Svara

Visa senaste svar