Trippelintegral

Kan någon hjälpa mig med att beräkna följande trippelintegral

Låt K vara enhetsklotet $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1$ Beräkna

$\iint \int_{K} (x + 3) d x d y d z$

Det står även att man ska använda sig av symmetri samt att $\iint \int_{K} 1 d x d y d z$ är lika med volymen av klotet K.

Det jag tror är att man ska ta den primitiva funktionen till x som är $\frac{1}{2} x^{2}$ samt den primitiva funktionen till 3 vilket är 3x, men svaret ska bli $4 π$ och dit är jag inte med.

Hej Jocke!

Trippelintegralen kan skrivas som en summa.

$\displaystyle \iiint_{K}x\,dxdydz + 3\iiint_{K}\,dxdydz.$

Den andra termen kan skrivas

$\displaystyle 3\cdot \text{Volym}(K) = 3 \cdot \frac{4\pi\cdot 1^3}{3} = 4\pi \ .$

Den första termen är lika med noll av symmetriskäl; negativa x-värden kancellerar positiva x-värden i enhetssfären.

Albiki

okej, men hur vet vi att enhetsklotets volym är $\frac{4 π}{3}$ ? med 3 multiplicerat blir det ju i så fall 4pi

och varför skrivs den andra termen som 3*volym(K)

jag är lite osäker med enhetsklotet.

Slå upp formeln för volymen av ett klot med radien 1.

okej nu förstår jag volymen för klotet.

Det jag inte riktigt förstått mig på än är hur den första termen kan bli lika med noll av symmetriskäl.

bidrag från en liten volym med x=a (något) är samma som bidrag från volymelementet där x=-a. Alla sådana bidragspar tar ut varandra. Tänk på integralen $\int_{- a}^{a} x d x$ . Den är noll för alla värden av a.

$\int_{- a}^{a}$ xds förstår jag blir noll men hur ska man veta det i detta fall då jag inte har satt gränserna på integralerna till $\pm$ samma värde

jag förstår den andra termen men har fortfarande svårt med den första. Hur vet jag att termerna tar ut varandra?

Integrera funtionen y(x) = x i från -1 till 1- Ser du likheten? Jo, gränserna är +/- samma värde: K är enhetsklotet $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1$ .

Albiki skrev:
Hej Jocke!
Trippelintegralen kan skrivas som en summa.
$\displaystyle \iiint_{K}x\,dxdydz + 3\iiint_{K}\,dxdydz.$
Den andra termen kan skrivas
$\displaystyle 3\cdot \text{Volym}(K) = 3 \cdot \frac{4\pi\cdot 1^3}{3} = 4\pi \ .$
Den första termen är lika med noll av symmetriskäl; negativa x-värden kancellerar positiva x-värden i enhetssfären.

Albiki

Hej Albiki,

Jag håller på lära mig det här med symmetriskäl. Du skriver "negativa x-värden kancellerar positiva x-värden i enhetssfären"

gäller det bara i området (eller gäller det funktionen också? eller är det kombinationen av dom, du menar här?)

för man räknar väl ändå med $\int_0^1$ (& då är det väl inte symmetriskäl?) och inte $\int_{-1}^1$ i den här uppgiften?

En udda funktion integrerad över ett jämnt område blir 0.

Vad är det som du menar skulle integreras från -1 till 1 eller från 0 till 1 i den här uppgiften? De gränserna skulle ge en kub, inte en sfär.

Gå gärna över till polära koordinater, eftersom det är ett klot.

Svara

Visa senaste svar