Trigonometriska identiteter

Givet vad du skrivet så tror jag att du skrivit av uppgiften fel.

Du ska bevisa att

${\left(1-\frac{2\tan \left(x\right)}{\sin \left(2x\right)}\right)}^2={\left(1-\frac{2\tan \left(x\right)}{\tan \left(2x\right)}\right)}^2$

Eftersom högerledet och vänsterledet är rätt så lika kan man ganska snabbt inse att detta innebär att du ska bevisa att

$\sin \left(2x\right)=\tan \left(2x\right)$

Vilket endast stämmer för de värden på 2x där cos(2x) = 1.

Jag har ej skrivit av uppgiften fel, den är exakt så du har lagt upp den så tack för du tydligt skriver av den i svar rutan. 
Ja detta vet jag, därför försöker jag med olika metoder för att få nämnaren lika i de bilder jag har bifogat. 
Varför jag skriver här är för att jag ej vet vart jag hamnar fel i mina beräkningar. 

Om jag i ett separat papper försöker lösa ut sin (2x) = tan (2x)  hamnar jag i samma problem. Hur löser jag ut så HL= VL. Känns så komplicerat. 

...vid närmare efterforskning så tycks jag få 0 då jag slår in några olika värden på x och efterfrågar vad vänsterledet minus högerledet blir. Mao. har du rätt; det där borde vara ett samband som man ska kunna bevisa. Förlåt för förhastade slutsatser.

I varje fall: uträkningarna du gör på blad 1 tycks vara riktiga, även om du missade en parentes runt uttrycket 1-2*sin²(x) i uträkningen av högerledet. Sedan ser det ut som att du gav upp det försöket till blad 2; antagligen för att det blivit för komplicerat.

Jag tror inte man kan komma undan att hålla sig "innanför parenteserna"; man måste nog utveckla "upphöjt till två"-faktorerna. Annars kommer man antagligen bara kom fram till att man ska bevisa att tan(2x) = sin(2x), vilket inte stämmer för alla x-värden.

Sedan kan man ju förstås göra omskrivningar av termerna innanför parenteserna innan man utvecklar kvadraterna.

Jag lyckades lösa den. En nyckelbit är någonting som jag först trodde du gjorde fel på blad 1 innan jag insåg att du hade en annan tanke än vad jag hade, men som är ganska enkelt:

Vid multiplikation av bråk så gäller

$\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{a*c}{b*d}$

Så i ditt fall så har vi

$\frac{2*\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}*\frac{1}{2*\sin \left(x\right)*\cos \left(x\right)}=\frac{2*\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)*2*\sin \left(x\right)*\cos \left(x\right)}$

Detta kan man genom att stryka gemensamma termer i nämnare och täljare omvandla till ett betydligt snällare uttryck.

Gör sedan samma sak med högerledet; givet dina uträkningar tror jag att du försökte få gemensam nämnare i både högerled och vänsterled vilket är en rimlig tanke; försök förenkla ner det på ett sätt så att det liknar ditt nu uppkomna vänsterled.

Tack! 
Hjälpte till en del men problemet kvarstår då det är olika i nämnaren och det är detta jag har problem med att lösa ut…

Med din hjälp kom jag så här långt:

 Har även försökt andra metoder:

men inget verkar funka, fastnar liksom kvar i samma problem ständigt 😭

Mattetrig skrev:

Har även försökt andra metoder:

[Blad 2 med den väg jag gick i stor utsträckning]

Du kommer fram till att vänsterledet² kan bli 

$1-\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}$

Dit kom jag också.

Sedan kommer du även fram till att högerledet² kan bli

$1-\frac{1-2{\sin }^2\left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}$

Om du tittar lite närmre på täljaren kanske du ser att den är cos(2x). Detta är fullt naturligt eftersom att du hade tan(2x) i ena ledet och sin(2x) andra ledet så att den faktorn dyker upp är en rest från det. Pröva att ersätta den med någonting annat, någonting som liknar nämnaren.

Har försökt de också, oavsett vilket utav de 3 alt man har för cos2x i HL så stämmer det ju inte överrens med VL betyder de då att jag ytterligare måste förenkla (1-(1/cos^2x) i VL? 

har du fått lösning på detta eller är det endast förslag på vad jag kan göra i uppgiften? 

Jag har ej fått lösningsförslag; jag har lyckats lösa det för hand.

I varje fall:

$$\begin{gathered} 1-\frac{\cos \left(2x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}=1-\frac{2{\cos }^2\left(x\right)-1}{{\cos }^2\left(x\right)}=1-\frac{2{\cos }^2\left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}-\frac{\left(-1\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}= \\ 1-\frac{2\cancel{{\cos }^2\left(x\right)}}{\cancel{{\cos }^2\left(x\right)}}+\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}=1-2+\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}=\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}-1 \end{gathered}$$

Jämför detta med vänsterledet.

Tack det ser rimligt ut! 🤩

Nu ser jag vad du har gjort hahaha tack!