Trigonometriska funktioner och ekvationer
1. Temperaturen y C grader varierade under ett dygn enligt sambandet y = 10 + 20sin0,2618t
där t är antalet timmar efter kl 7.00.
a) Vilket var den högsta temperaturen?
b) Bestäm den lägsta temperaturen
c) Bestäm temperaturen kl 7.00
d) Bestäm temperaturen kl 13.00
e) Lös ekvationen: 10 + 20 sin0,2618t = 30 för 0 < t < 24.
f) Vilken fråga besvarar ekvationens lösningar i e)?
Jag har gjort a), b), c), d)
Jag har e) och f) kvar. Vill gärna ha hjälp med både e) och f). Jag har försökt göra e) men har inget sätt att rätta mig själv om jag gjort något fel.
30 = 10 + 20 sin0,2618t
sin0,2618t =
0,2618t = sin -1 ()
0,2618t = 1,57079632679 ≈ 1,57
= = + n ·
t1 = 7,241 + n · 28,98
nu för t2:
0,2618t = π – 1,57 + n · 2π
t2 = + n ·
t2 = 7,249 + n · 28,98
t1 = 7,24
t2 = 7,25
Jag förstår inte har jag gjort rätt?
t1 och t2 är väldigt lika.
Nej, det stämmer inte. Vilket värde på sin0,2168t gör att temperaturen är 30 grader?
Vad är det högsta värdet du kan få på sin x?
För att få 30 grader är värdet 6 och sin högsta värde är 1. Är det något jag har missat?
Försök att lösa ekvationen utan att avrunda. Vad händer då?
Jag förstår inte. Får samma svar hela tiden. Ska t bli 6? Kan inte få det till 6.
Det var en liten kortslutning i min hjärna, nu fick jag svaret till 6. Men räcker det eller måste jag få fram två t värden?
Prova att räkna utan att avrunda. Får du två olika lösningar då?
Förstår inte riktigt. Jag gör
t = 5,99 + n 28,98
Förresten ska det stå 0,2618t inte 2168t, ber om ursäkt, skrev fel. Ska redigera bort det nu.
Jo. Men ”1.57’an” är inte riktigt 1.57. Vad är det exakta värdet?
Det exakta värdet är 1,57079632679
Nej, det är . Blir det två olika lösningar då?
Jag får alltid 5,99 avrundat till 6 hela tiden även med /2.
Jo, det stämmer. Men din ursprungliga fråga gällde väl huruvida t1 och t2 var väldigt lika? Eller exakt lika.
Och hur man ska tolka detta (fråga f)
0 < t < 24 syftar på 0 till till 24 timmar. Alltså efter 6 timmar är temperaturen som högst alltså 30 grader. Är vad jag tänker i alla fall.
Ja. Det finns alltså bara en lösning för y=30=ymax på en sinuskurva i intervallet.
Däremot finns det två lösningar för y=29.99999, en tidpunkt när temperaturen är påväg mot 30, och en tidpunkt när temperaturen är påväg från 30. Och dessa tidpunkter ligger väldigt nära varandra.
Tack för hjälpen.
