Trigonometriska funktioner

Den punkt på enhetscirkeln som du ritat i din figur

har koordinaterna ( $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ , $\frac{1}{\sqrt{2}}$ )    precis som du skriver.

Sinus för din punkt på enhetscirkeln är det värde du läser av på den lodräta Y-axeln,
det du i din figur kallar X.  Och Cosinus är det värde du läser av på den vågräta X-axeln,
i ditt exempel  Y  men med  minustecken. 

Du har betecknat de två kateterna  X  och Y.
Jag skulle beteckna dem omvänt,  den lodräta kateten för Y och den vågräta kateten för X,
då  den lodräta kateten går i Y-axelns riktning, och den vågräta kateten går i X-axelns riktning.
Eller kalla kateterna för  A  och  B  för att inte blanda ihop med koordinaterna  X  och Y.

Jag ska försöka bli tydligare med en bild. Du kan alltid använda en hjälp-triangen för att beräkna
sinus och cosinus. Däremot kommer x-koordinaten inte alltid vara närliggande katet.
Se bilden nedan, i 1:a och 3:dje kvadranten är x-koordinaten närliggande katet.
Men i 2:a och 4:de är det istället y-koordinaten som är närliggande katet.

larsolof skrev :

Jag ska försöka bli tydligare med en bild. Du kan alltid använda en hjälp-triangen för att beräkna
sinus och cosinus. Däremot kommer x-koordinaten inte alltid vara närliggande katet.
Se bilden nedan, i 1:a och 3:dje kvadranten är x-koordinaten närliggande katet.
Men i 2:a och 4:de är det istället y-koordinaten som är närliggande katet.

 

ok så bara för att vara säker när vi ska bestämma ex: $\cos \frac{11\mathrm{\pi }}{6}$ då är det korrekt att säga att vi söker x koordinaten i den fjärden kvadranten? och$x =\hspace{0.17em}\sin \frac{\mathrm{\pi }}{3} * 1 =\hspace{0.17em}\sqrt{3} /\hspace{0.17em}2$ och när vi bestämmer sin(x) då söker  vi y koordinaten?

I det vi pratat om tidigare (bilden ovan), användandet av hjälp-triangel, hade jag fyra exempel,
alla med vinkeln 30 grader. Men det var vinkeln i hjälp-triangel-spetsen mot origo som var 30 grader.

När man pratar om vinklar i en enhetscirkel menar man vinkeln från x-axeln = 0
I bilden nedan har jag ritat (med rött) de två vinklar du frågar om, $\frac{11\mathrm{\pi }}{6}$  och  $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ 
Och när man pratar om vinklar utgående från x-axeln = 0 så är
sinus för vinkel alltid y-koordinaten, och cosinus för vinkeln alltid x-koordinaten.

Så du har rätt i att  cos $\frac{11\mathrm{\pi }}{6}$ ger x-koordinaten.  Sedan skriver du lite som jag inte förstår.
Men rätt är att  sin $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$  ger y-koordinaten.

såhär ritade jag $\cos \frac{11\mathrm{\pi }}{3}$  först skrev jag om uttrycket till $\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi }/3$

då ser vi att vi hamnar i fjärde kvadranten med vinkeln $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$

för att få ut x på triangeln använder jag mig av sin pi/6 = x / 1 så alltså är $\sin \mathrm{\pi }/6 = \cos \frac{11\mathrm{\pi }}{3}$ 

och då har vi bestämt att $\cos \frac{11\mathrm{\pi }}{3} = 1/2$

visst blev de rätt nu? är detta korrekt tänkt?

Allt är helt rätt. Figuren är rätt.

Sidan x i triangeln fås av $\sin \raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$6 = {\displaystyle \raisebox{1ex}{$x$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$1 $}\right.}$}\right.$  det är rätt.

Och att $\sin \raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$6 =$}\right. \cos \frac{11\mathrm{\pi }}{3}$   är rätt,  liksom att det är =  1/2

Men du har inte skrivit hur du fick fram att det är = 1/2   (vilket det är)

Slog du  $\sin \raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$6$}\right.$  på en miniräknare och fick svaret  1/2  ?
Det är ju ett ok sätt. Men har du en miniräknare så
kan du ju slå  $\cos \frac{11\mathrm{\pi }}{3}$  och få svaret  1/2  på en gång.

vi får inte använda miniräknare så istället har vi en tabell på de vanliga graderna  30 , 45 och 60.  sin 30 finns med på tabellen medans cos 11 pi / 3 inte gör det =)