Trigonometriska ettan

Lägg in bilden åt rätt håll, snälla!

Skriv om $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Vad blir då täljaren? 

Ja det gjorde jag

Cosx ( sinx+sinx/cosx)/ cosx+1 

Om du nu förlänger sin(x) så att du kan skriva hela täljaren på samma bråkstreck, och multiplicerar in cos(x), vad får du?

Hur menar du förlänga sinx på samma bråk streck? 

Jag kan tänka mig att skriva 2sinx/cosx och multiplicera in cosx i täljaren. Då får vi 

2sinxcosx/cosx/cox+1

$\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x·\cos x}{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x·\cos x+\sin x}{\cos x}$. Vad händer om du multiplicerar in cos(x) som står utanför denna parentes i din täljare?

Det blir sinxcosx*cosx^2+sinxcosx/cosx 

Nja...

$\frac{\bcancel{\cos x}\left({\displaystyle \frac{\sin x·\cos x+\sin x}{\bcancel{\cos x}}}\right)}{\cos x+1}=\frac{\sin {\displaystyle x}{\displaystyle ·}{\displaystyle \cos }{\displaystyle x}{\displaystyle +}{\displaystyle \sin }{\displaystyle x}}{\cos {\displaystyle x}{\displaystyle +}{\displaystyle 1}}$

Hur kan du förenkla det?

Sinxcosx+sinx/cosx+1 = sinx ( cosx+1)/(cosx+1) = sinx 

Precis! Det finns dock ett värde på sinx som inte är tillåtet, vilket kommer från nämnaren i ursprungstalet. Vilket är det?

det enda jag vet är att man får ej dela sinx i täljare och nämnare när sinx sitter ihop cosx. man får bryta ut sinx i ekvationen eftersom vi har en sinx också dvs sinxcosx+sinx/cosx+1.  Menar du som jag skrev ?

Precis! Vi får inte dividera med sinx utan att ha uteslutit de värden på x som ger att $\sin(x)=0$, eftersom vi då dividerar med noll. När vi gjort vår förenkling måste vi skriva att x inte får anta dessa värden. Vilka är de?

En visuell tolkning är att ursprungsuttrycket, $\sin(x)+\frac{\cos^{2}(x)}{\sin(x)}$ har ett hål i sin graf, ett värde (eller ja, flera värden) på x ger ingen output. När vi förenklat detta uttryck till det lite mer behändiga uttrycket $\sin(x)$ har vi fått en graf utan hål. Om uttrycken ska överensstämma måste vi "stoppa tillbaka" hålen i vårt nya uttryck. Det gör vi genom att utesluta vissa värden på x.

Ursprungsfrågan kvarstår dock, har Steve gjort rätt?

Jag lyckades lösa den uppgiften. Tack ändå!