Trigonometriska ekvationer, lös sin x = cos x grafiskt

45 + 180*n

Det finns inte bara två lösningar, varje korsning mellan din röda och din blå kurva är en lösning,

Jag fick också den ena lösningen till 45* men en annan period, varför är perioden 180*n? 

Vid 45 grader är sin45 = cos45 = 0,707106781

Vid 45+180 grader är sin225 = cos225 = - 0,707106781

Vid 45+90 och 45+ 270 har sin och cos skilda tecken

kan man se det på miniräknaren att perioden är 180*? 

Du ser det på dina röda och blå kurvor.
x-axeln är ju gradtalet, y-axeln är sinus och cosin värdena
röd linje är cosinus, blå linje är sinus

i origo är vinkeln 0 grader och cosinus 1 (röd)  och sinus 0 (blå)
när röd och blå skär varandra lite till höger är vinkeln 45 grader och sin45 = cos45 = 0,707106781

när röd och blå skär varandra nästa gång (under x-axeln) är vinkeln 45+180 och
sin225 = cos225 = - 0,707106781

mittemellan 45  och 45+180 , dvs vid 45+90 är blå lika högt över x-axeln som röd är under x-axeln
och alltså den ena +0,707106781  och den andra  -0,707106781

Jag fattar fortfarande inte varför man adderar 180*? Hur kan man se det i bilden att perioden är 180*? Jag ser ju att de skär varandra över och under x-axeln 

Du har ringat in skärningen vid 45 och skärningen vid 225 (=45+180)
så det är 180 grader mellan dina inringade punkter.
Vid origo är vinkeln 0 grader. De små strecken/markeringarna på x-axeln är 90, 180,
270, 360, osv grader. Jag vet inte vad du kan göra med TI-84, kan du göra så att
siffervärden/grader skrivs ut på x-axeln?

Hej

Om du tänker dig så här vad är avståndet mellan dom? Det måste vara $180°+\frac{90°}{2}-45°=180°$. Om vi kollar det andra hållet för negativa vinklar så är avståndet där också $\left|(-90°-45°)-45°\right|=180°$. Alltså kommer lösningen för ekvationen att dyka upp om vi antingen går 180 steg framåt eller bakåt på x-axeln. Mer allmänt kan vi då skriva $45°+n·180°$ där $n$ är ett heltal.

När man ska lösa en ekvation grafiskt är det nästan alltid bättre att skriva om den så att man får 0 i ena ledet. Så här:

sin x = cos x

sin x - cos x = 0

Sedan ritar du grafen för y = sin x - cos x och tittar var den skär x-axeln. Det blir lättare att läsa av värdena då.

SvanteR: Tack nu förstår jag lite bättre

Men jag vill också kunna förstå det larsolof och jonis10 säger. Säkert jätteenkelt bara jag som inte ser det. :( 

——————-

Här har jag knappat in y=0 och y=sin x - cos x 

Att perioden är 180*, är det för att man subtraherar 225*-45* ? 

Punkter på enhetscirkeln har koordinater

(x,y)  = (cos(v), sin(v))

sin(v) = cos(v) 

betyder då att

y = x

För vilka punkter på enhetscirkeln gäller detta?

Dr. G skrev :

Punkter på enhetscirkeln har koordinater

(x,y)  = (cos(v), sin(v))

sin(v) = cos(v) 

betyder då att

y = x

För vilka punkter på enhetscirkeln gäller detta?

Jag kollade på min formelsamling och det är för vinkeln 45 grader 

Hej!

Att lösa ekvationen

    $\sin x = \cos x$

är samma sak som att lösa ekvationen

    $\tan x = 1$,

eftersom $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\ .$

Tangens-funktionen är periodisk med perioden $\pi$, vilket betyder att om $\tan x = 1$ så är $\tan (x+\pi) =1$ också, och att $\tan(x-\pi) = 1$ också, och att $\tan(x+2\pi) = 1$ också och att $\tan(x-2\pi) = 1$ också och att ... .

Om $x = \frac{\pi}{4}$ så är $\tan x = 1.$ Det betyder att alla lösningar till ekvationen $\sin x = \cos x$ kan skrivas $x = \frac{\pi}{4} + n \cdot \pi$, där $n$ betecknar ett heltal.

Albiki

detrr skrev :

Jag kollade på min formelsamling och det är för vinkeln 45 grader 

Ja, det är en lösning. Om du ritar ut linjen och cirkeln så bör du se att linjen skär cirkeln i två punkter.

En bild för att förtydliga. Vid 45 grader (grön) är cos x = sin x  och  likaså 225 grader (grön).
Och mellan 45 och 225 är det 180 grader.
Därför är cos x = sin x  vid alla gradtal som uppfyller  45 + n * 180     ( n ett pos/neg heltal)
Vid 135 grader (röd) är   $\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{sin}\mathbf{ }\mathbf{x}$   (och likaså vid 315 grader).