Trigonometriska ekvationer (Matematik/Universitet)

Vart tog din förra bild vägen?
Lös ut sin²(x) på sista raden, så är du snart klar.

Här följer de två sista raderna inte av den föregående

Pröva att använda ${\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} = 1$ för att skriva om vänsterled med bara ${\sin (x)}^{2}$ eller bara ${\cos (x)}^{2}$ .

Efter att du har gjort det, ansätt $\sin (x) = t$ eller $\cos (x) = t$ och försök renskriva det som en andragradsfunktion. Ersätt sedan tillbaka så att t:na försvinner och endast x återstår.

Arktos skrev:
Vart tog din förra bild vägen?

Suddade bort den. Så jag använde konjugatregeln med trigonometri.

Bedinsis skrev:
Pröva att använda ${\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} = 1$ för att skriva om vänsterled med bara ${\sin (x)}^{2}$ eller bara ${\cos (x)}^{2}$ .

Efter att du har gjort det, ansätt $\sin (x) = t$ eller $\cos (x) = t$ och försök renskriva det som en andragradsfunktion. Ersätt sedan tillbaka så att t:na försvinner och endast x återstår.

Jag försökte med det med cos men får inget annat än 1-sin^2x-sin^2x på VL. Då får jag 1-2sin^(x)=sqrt(3)/2. Använder vi substitution med t får vi då sinx=t

Och då får vi 1-2t^2=sqrt(3)/2

Arktos skrev:
Vart tog din förra bild vägen?
Lös ut sin²(x) på sista raden, så är du snart klar.

Här följer de två sista raderna inte av den föregående

Som sagt

Arktos skrev:
Vart tog din förra bild vägen?
Lös ut sin²(x) på sista raden, så är du snart klar.

Här följer de två sista raderna inte av den föregående

Tror ej jag är med på din tankegång tyvärr. Mek såhär gjorde jag nu

Du hade

2 - 4 sin²(x) = [roten ur 3] vill jag minnas

Lös ut sin²(x) , dvs se till att få den ensam i ena ledet.

Arktos skrev:
Du hade

2 - 4 sin²(x) = [roten ur 3] vill jag minnas

Lös ut sin²(x) , dvs se till att få den ensam i ena ledet.

Jag vet ej hur vi får reda på vinklarna till en sån värde.

Rätt, men det är fel ekvation. Kolla igen.

Arktos skrev:
Rätt, men det är fel ekvation. Kolla igen.

Jag ser ej vad du menar med fel ekvation när vi skrev om cos^2(x)=1-2sin^2(x).

Det är för att cos^2(x) ≠ 1-2sin^2(x)

Använd gärna lilla x² - tecknet för att slippa skrivsättet x^2

Arktos skrev:
Det är för att cos^2(x) ≠ 1-2sin^2(x)

Använd gärna lilla x² - tecknet för att slippa skrivsättet x^2

Ok.

cos²x=1-2sin²x.

Snyggt, men fel :-)
Du gjorde ju rätt från början

Utgå från trigonometriska ettan!

Arktos skrev:
Snyggt, men fel :-)
Du gjorde ju rätt från början

Utgå från trigonometriska ettan!

Jag förstår fortfarande ej vad som är fel om du vill upplysa mig. Jag försökte förut med konjugatregeln av trigonometri men fastnade redan där. Vore bra om jag kan få lite hjälp att komma vidare.

Skriv upp trigonometriska ettan.
Skriv om den så att cos²x blir ensam i ena ledet

Arktos skrev:
Skriv upp trigonometriska ettan.
Skriv om den så att cos²x blir ensam i ena ledet

Jag hänger ej med. Vi har cos²x-sin²x=sqrt(3)/2. INTE cos²x=sqrt(3)/2.

Ett steg i taget
Skriv upp den trigonometriska ettan

Arktos skrev:
Ett steg i taget
Skriv upp den trigonometriska ettan

Bra.
Subtrahera sin²(x) från båda led, och förenkla

(dvs lös ut cos²(x) )

Arktos skrev:
Bra.
Subtrahera sin²(x) från båda led, och förenkla

(dvs lös ut cos²(x) )

Ok jag gjorde det.

Vad fick du då?

Arktos skrev:
Vad fick du så?

cos²x=1-sin²x

Visst, precis som i din första bild.

Arktos skrev:
Visst, precis som i din första bild.

Ja

Sätt in 1-sin²x i stället för cos²x i ekvationen (som du gjorde från början)

Arktos skrev:
Sätt in 1-sin²x i stället för cos²x i ekvationen (som du gjorde från början)

Se uppdatering i #25

Ser bra ut , utom sista raden. Varifrån kom t ?

Arktos skrev:
Ser bra ut , utom sista raden. Varifrån kom t ?

Det är inget t utan +-sin(x)

Ser inte ut så på min skärm :-)
Vad blir sin(x) ?

Arktos skrev:
Ser inte ut så på min skärm :-)
Vad blir sin(x) ?

Bra.

Och vad blir x ?

Arktos skrev:
Bra.

Och vad blir x ?

Vi får ej använda räknare på denna uppgift så jag kan ej veta vilken vinkel detta motsvarar.

Då får du uttrycka det med arcsin(...)

Arktos skrev:
Då får du uttrycka det med arcsin(...)

Hm okej. Hur gör man det?

Här är mitt försök.

Vad säger facit?

Jag skulle göra en geometrisk skiss av lösningen.
Beräkna ett närmevärde på det irrationella uttrycket (det får du väl göra med räknare?)
Rita en enhetscirkel
Om närmevärdet är ±u ,
dra linjerna y = u och y = -u och markera var de skär cirkeln.
Borde blir 4 punkter.

Kolla sedan arcsin (± uttrycket) på räknaren
så du får en uppfattning om vinklarna.

destiny99 skrev:
Arktos skrev:
Då får du uttrycka det med arcsin(...)

Hm okej. Hur gör man det?

Här är mitt försök.

OK! Du hann före.
Vad betyder exponenterna på de två sista raderna?
arcsin är ju redan inversen till sin

Så får du också reda ut hur man anger alla övriga vinklar (typ + n*2π eller så)
I den geometriska skissen kan du göra det direkt.

Vad säger facit?

Arktos skrev:
destiny99 skrev:
Arktos skrev:
Då får du uttrycka det med arcsin(...)

Hm okej. Hur gör man det?

Här är mitt försök.

OK! Du hann före.
Vad betyder exponenterna på de två sista raderna?
arcsin är ju redan inversen till sin

Så får du också reda ut hur man anger alla övriga vinklar (typ + n*2π eller så)
I den geometriska skissen kan du göra det direkt.

Vad säger facit?

Facit säger att vinkeln är +-pi/12+n*k. Hur de fått fram det är oklart för mig

Inte jag heller.
Kolla med WolframAlpha
Vad menas med n*k ?

Arktos skrev:
Inte jag heller.
Kolla med WolframAlpha
Vad menas med n*k ?

Jag får ej göra det. Det ska lösas utan digitala hjälpmedel enligt kursansvarig. Tentamen kommer vara utan digitala hjälpmedel.

Men du kan ju göra det nu, för att kolla facit
Var detta en tentamensuppgift?

Arktos skrev:
Men du kan ju göra det nu, för att kolla facit
Var detta en tentamensuppgift?

Nej men det är träning för tentamen och jag lär mig ej av att använda digitala hjälpmedel när våra lärare kommer fram till utan det också.

Då är det bara. att börja om igen och noga kolla varje steg i lösningen.

Tillägg: 4 sep 2023 15:48

kollade i Mathematica.
π/12 är en lösning till ekvationen

Arktos skrev:
Då är det bara. att börja om igen och noga kolla varje steg i lösningen.

Tillägg: 4 sep 2023 15:48

kollade i Mathematica.
π/12 är en lösning till ekvationen

Tack! Jag frågar assistenterna istället.

Använd omskrivning med dubbla vinkeln för cos:

cos²x-sin²x = cos(2x) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

vilket är en känd standardvinkel

fall 1, 2x = pi/6 + 2npi => x = pi/12 +npi

fall 2, 2x = -pi/6 +2npi => x = -pi/12 +npi

Edit: Identiteten för dubbla vinkeln härleder man ur summationsformeln för cos,

med a = b !
cos(a+b) = cosa*cosb -sina*sinb

Ture skrev:
Använd omskrivning med dubbla vinkeln för cos:

cos²x-sin²x = cos(2x) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

vilket är en känd standardvinkel

fall 1, 2x = pi/6 + 2npi => x = pi/12 +npi

fall 2, 2x = -pi/6 +2npi => x = -pi/12 +npi

Edit: Identiteten för dubbla vinkeln härleder man ur summationsformeln för cos,

med a = b !
cos(a+b) = cosa*cosb -sina*sinb

Oj tack! Det blev ännu lättare

Det var ett lärorikt problem!
Bra att ha formler för dubbla vinkeln aktuella.
Borde ha misstänkt något sådant när det står ett välkänt värde i HL !

Men var ligger då felet i det resonemang vi förde?
Utgick från trigonometriska ettan
Ersatte cos²x med 1-sin²x
och fick 1 - 2sin²x = rot(3)/2 etc

Arktos skrev:
Det var ett lärorikt problem!
Bra att ha formler för dubbla vinkeln aktuella.
Borde ha misstänkt något sådant när det står ett välkänt värde i HL !

Men var ligger då felet i det resonemang vi förde?
Utgick från trigonometriska ettan
Ersatte cos²x med 1-sin²x
och fick 1 - 2sin²x = rot(3)/2 etc

Jag tror man ska direkt inse att ekvationen uppgiften ger oss är bara cosinus dubbla vinkel så är man hemma. Jag kom tyvärr ej på det denna gång,men var inne på det spåret lite. Man vet redan att cos(2x)=1-2sin²x enligt lagarna för cos dubbla vinkeln.

Arktos skrev:
Det var ett lärorikt problem!
Bra att ha formler för dubbla vinkeln aktuella.
Borde ha misstänkt något sådant när det står ett välkänt värde i HL !

Men var ligger då felet i det resonemang vi förde?
Utgick från trigonometriska ettan
Ersatte cos²x med 1-sin²x
och fick 1 - 2sin²x = rot(3)/2 etc

Det var inget fel, det ledde bara fram till en svårlöst ekvation. Man bör ha alla möjliga formler, om inte aktuella, så i alla veta att dom finns så, man kan plocka fram rätt identitet när den behövs.

Viktigaste lärdomen är ändock: När man kör fast: Fundera på om det finns något annat sätt att angripa uppgiften på.