Trigonometriska bevis

Vad händer om du förlänger högerledet med 1 + sinx i stället? 

Laguna skrev:

Vad händer om du förlänger högerledet med 1 + sinx i stället? 

 Då kommer jag fram till $\frac{{\sin }^{2}x+ 2\sin x+1}{{\cos }^{2}x}= \frac{{\displaystyle {\sin }^2}{\displaystyle x}{\displaystyle +}{\displaystyle }{\displaystyle 2}{\displaystyle \sin }{\displaystyle x}{\displaystyle }{\displaystyle +}{\displaystyle 1}}{{\displaystyle {\cos }^2}{\displaystyle x}}$, nu ser jag att VL och HL är lika stora men hur bevisar jag det som frågan efterfrågar?

Ja, det var ju det du skulle visa, att högerledet och vänsterledet är lika för alla x.

Laguna skrev:

Ja, det var ju det du skulle visa, att högerledet och vänsterledet är lika för alla x.

 Jo, det är klart men jag tänkte på hur jag skulle gå vidare så att jag får exempelvis 1+sinx/ 1-sinx på vänstra ledet. 

Du får förkorta med 1+sinx igen, och kolla att inget tråkigt händer när det uttrycket är 0.

Du ska inte göra på det sättet som du gjort Le Chat.

Istället ska du antingen manipulera VL och nå fram till HL, eller så ska du manipulera HL och nå fram till VL.

Jag väljer att manipulera HL; för att skippa skriva massa onödiga bokstäver betecknar jag $\sin x$ med $s$ och $\cos x$ med $c$ och $\tan x$ med $t$.

    $\frac{1+s}{1-s} = \frac{(1+s)(1+s)}{(1-s)(1+s)} = \frac{1+2s+s^2}{1-s^2} = \frac{s^2+2s+1}{c^2} = (\frac{s}{c})^2 + 2\frac{s}{c} \cdot \frac{1}{c} + \frac{1}{c^2}.$

Sedan är $t = s/c$ så då kan jag skriva 

    $(\frac{s}{c})^2 + 2\frac{s}{c} \cdot \frac{1}{c} + \frac{1}{c^2} = t^2 + 2t \cdot \frac{1}{c} + (\frac{1}{c})^2 = (t+\frac{1}{c})^2.$

Albiki skrev:

Jag väljer att manipulera HL; för att skippa skriva massa onödiga bokstäver betecknar jag $\sin x$ med $s$ och $\cos x$ med $c$ och $\tan x$ med $t$.

    $\frac{1+s}{1-s} = \frac{(1+s)(1+s)}{(1-s)(1+s)} = \frac{1+2s+s^2}{1-s^2} = \frac{s^2+2s+1}{c^2} = (\frac{s}{c})^2 + 2\frac{s}{c} \cdot \frac{1}{c} + \frac{1}{c^2}.$

Sedan är $t = s/c$ så då kan jag skriva 

    $(\frac{s}{c})^2 + 2\frac{s}{c} \cdot \frac{1}{c} + \frac{1}{c^2} = t^2 + 2t \cdot \frac{1}{c} + (\frac{1}{c})^2 = (t+\frac{1}{c})^2.$

 Det går bra utan att utföra kvadreringen i täljaren, så det blir det färre steg: (1+s)(1+s)/c^2 = ((1+s)/c)^2 = (1/c + s/c)^2 = (1/c + t)^2.

Laguna skrev:

Albiki skrev:

Jag väljer att manipulera HL; för att skippa skriva massa onödiga bokstäver betecknar jag $\sin x$ med $s$ och $\cos x$ med $c$ och $\tan x$ med $t$.

    $\frac{1+s}{1-s} = \frac{(1+s)(1+s)}{(1-s)(1+s)} = \frac{1+2s+s^2}{1-s^2} = \frac{s^2+2s+1}{c^2} = (\frac{s}{c})^2 + 2\frac{s}{c} \cdot \frac{1}{c} + \frac{1}{c^2}.$

Sedan är $t = s/c$ så då kan jag skriva 

    $(\frac{s}{c})^2 + 2\frac{s}{c} \cdot \frac{1}{c} + \frac{1}{c^2} = t^2 + 2t \cdot \frac{1}{c} + (\frac{1}{c})^2 = (t+\frac{1}{c})^2.$

 Det går bra utan att utföra kvadreringen i täljaren, så det blir det färre steg: (1+s)(1+s)/c^2 = ((1+s)/c)^2 = (1/c + s/c)^2 = (1/c + t)^2.

 Du har rätt. Jag noterade inte den detaljen; snyggt.