Trigonometrisk olikhet

Jag hänger inte med i ditt resonemang. Om x = 1 så är sin(x)=0,8414709848078965066525023216303.

Smaragdalena skrev:

Jag hänger int e med i ditt resonemang. Om x = 1 så är sin(x)=0,8414709848078965066525023216303.

 Oj. Menade givetvis att max(VL) inträffar då $\sin x=1, \sin y=-1$ (eller tvärtom). Fixat nu.

Matte357, det står i Pluggakutens regler att man inte får ändra på ett inlägg som har blivit besvarat. Däremot kan man stryka över det som blev fel och skriva det riktiga efteråt. Rätta till, tack! /moderator

Medelärdesatsen ska användas

Anta $x<y$ och f(x)=sin(x) då finns c så $\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}=f\text{'}\left(c\right)\iff \sin \left(x\right)-\sin \left(y\right)=\cos \left(c\right)\left(x-y\right)$ och eftsersom $\left|\cos \left(c\right)\right|\le 1$ för alla c, alltså gäller $\left|\sin \left(x\right)-\sin \left(y\right)\right|\le \left|x-y\right|$

Kallaskull skrev:

Medelärdesatsen ska användas

Anta $x<y$ och f(x)=sin(x) då finns c så $\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}=f\text{'}\left(c\right)\iff \sin \left(x\right)-\sin \left(y\right)=\cos \left(c\right)\left(x-y\right)$ och eftsersom $\left|\cos \left(c\right)\right|\le 1$ för alla c, alltså gäller $\left|\sin \left(x\right)-\sin \left(y\right)\right|\le \left|x-y\right|$

 Ja, jag vet som sagt det. Men håller min lösning också?

Hej!

Det måste inte lösas med hjälp av Medelvärdessatsen.

Om du kan visa att

    $|\sin x - \sin y| \leq 2$

för alla $x$ och $y$ och att

    $2 \leq |x-y|$

för alla $x$ och $y$ så har du visat att

    $|\sin x -\sin y| \leq |x-y|.$

Den första olikheten är sann via Triangelolikheten och definition av sinusfunktionen, men den andra olikheten är inte sann för alla $x$ och $y.$

Du vill ju visa att din olikhet är sann för alla $x$ och $y$, så då fungerar inte din tankegång; den fungerar för tal $x$ och $y$ som ligger långt från varandra (mer än 2 steg från varandra), men inte för andra tal.

Jag föreslår att du använder Additionsformeln för sinusfunktionen och noterar att om $y <>$ så kan du skriva

    $x = 0.5(x+y) + 0.5(x-y) \,och\, y = 0.5(x+y)-0.5(x-y).$

• $\sin x = \sin 0.5(x+y)\cos0.5(x-y) + \cos 0.5(x+y) \sin 0.5(x-y)$
• $\sin y = \sin 0.5(x+y) \cos0.5(x-y) - \cos 0.5(x+y)\sin 0.5(x-y)$

Det ger differensen

    $\sin x - \sin y = 2\cos 0.5(x+y)\sin 0.5(x-y)$.

Notera nu att

    $|\sin 0.5(x-y)| \leq 0.5|x-y|$

och den önskade olikheten följer för alla $x$ och $y$ som är sådana att $y <>$ 

Hur hanterar man vinklar $x$ och $y$ som är sådana att $x \leq y$?