trigonometrisk ekvation vänstra halva av enhetscirkeln

Ska lösa ovan och funderar på hur själva uträkningen görs, för jag ser på enhetscirkeln vart lösningen är men har inte löst innan när det är negativa tal dvs vänstra halvan utan endast högra.

om det hade varit på den högra delen av enhetscirkeln dvs 1/2 så tar man ena x-lösningarna för standardvärdet 1/2 dvs pi/3 och sen andra x-lösningarna 2pi - pi/3 (plus perioderna)

men nu när det rör sig om den vänstra delen av enhetscirkeln undrar jag om man gör såhär istället:

$\cos (3 x) = - \frac{1}{2} \Rightarrow 3 x = (π - \frac{π}{3}) + 2 πn och \cos (3 x) = - \frac{1}{2} \Rightarrow 3 x = (2 π - (π - \frac{π}{3})) + 2 πn$

(löser såklart ut hela ekvationen genom att dela med 3)

eller finns det enklare/"bättre"/mer standard sätt?

Ditt resonemang är OK.

Allmänt: Ekvationen $\cos v=k,\qquad -1\leq k\leq 1$ .

Anta att $\theta$ är en lösning. Då skrivs alla lösningar

$v=\theta + n\cdot 2\pi$ eller

$v=-\theta + n\cdot 2\pi$ . Se figuren nedan

Det fungerar, oavsett sida på enhetscirkeln.

Rita en enhetscirkel
Rita in linjen x=-½
Läs av de båda "korsningarna", 2pi/3 och 4pi/3.
De båda varianterna är $3x=2\pi/3+2\pi n$ och $3x=4\pi/3+2\pi n$ . Lös som vanligt.

dr_lund skrev:
Ditt resonemang är OK.
Allmänt: Ekvationen $\cos v=k,\qquad -1\leq k\leq 1$ .
Anta att $\theta$ är en lösning. Då skrivs alla lösningar
$v=\theta + n\cdot 2\pi$ eller
$v=-\theta + n\cdot 2\pi$ . Se figuren nedan
Det fungerar, oavsett sida på enhetscirkeln.

yes tack! det som förvirrar mig är när det är i andra halvan för högra halvan då kan jag alla standard utantill men när det går över till vänstra vet jag ej o jag ska ta standardvärdet + pi eller pi - standardvärdet eller 2pi - standardvärdet eller standardvärdet - 2pi

även om jag ritar ut enhetscirkeln och ser vart punkten är blir jagfundersam till hur jag får fram själva vinkeln om jag endast vet standardvärdet om det skulle ligga i första kvadranten

Smaragdalena skrev:
Rita en enhetscirkel
Rita in linjen x=-½
Läs av de båda "korsningarna", 2pi/3 och 4pi/3.
De båda varianterna är $3x=2\pi/3+2\pi n$ och $3x=4\pi/3+2\pi n$ . Lös som vanligt.

exakt och hur får jag fram dessa "korsningar"? det är det jag har problem med

Nu skriver jag vinklarna i grader istället: Om du ser att den övre korsningen är 180^o-60^o eller 90^o+30^o spelar ingen roll, det blir ju samma svar.

Även om du befinner dig i vänstra halvplanet så kan du använda standardvärdena för att bestämma vinkeln $v$ i figuren. Därifrån kan du bestämma $\theta$ .

Yngve skrev:
Även om du befinner dig i vänstra halvplanet så kan du använda standardvärdena för att bestämma vinkeln $v$ i figuren. Därifrån kan du bestämma $\theta$ .

aa men det är det jag undrar hur man får dom då, jag vill hitta någon tumregel som jag kan minnas inte alltid behöva rita det kommer ta för lång tid

om jag vet standard värdet och ska hitta vänstra halvan cos. kan man alltid ta pi - standardvärdet samt 2pi - (pi-standardvärdet)) eller funkar inte det alltid?

Maremare skrev:

aa men det är det jag undrar hur man får dom då, jag vill hitta någon tumregel som jag kan minnas inte alltid behöva rita det kommer ta för lång tid
...

Jovisst finns det sådana.

Den här sidan samlar de relevanta tumreglerna för fall liknande ditt.

Yngve skrev:
Maremare skrev:
aa men det är det jag undrar hur man får dom då, jag vill hitta någon tumregel som jag kan minnas inte alltid behöva rita det kommer ta för lång tid
...
Jovisst finns det sådana.
Den här sidan samlar de relevanta tumreglerna för fall liknande ditt.

aa tack! men den där sidan säger inte hur många olika fall/lösningar jag får när jag ska lösa trigonometriska ekvationer eller hur jag tar fram dom beroende på vilken kvadrant dom är i

men jag tror jag är med, får göra några uppgifter

tack för hjälpen!

Om du har en ekvation cos(nånting) = a så finns det tre olika fall: Om a=1 eller a=-1 så får du en lösning, om -1<a<1 får du två lösningar och om |a| >1 får du 0 lösningar. Exakt samma sak gäller för sinus. I vart och ett av dessa fall har du också en period att ta hänsyn till.

Svara

Visa senaste svar