trigonometrisk ekvation

Hej! Jag behöver hjälp med denna uppgift:

$\cos (4 v) + \cos (v) = 0$

Jag räknar fram mina lösningar på detta sätt:

$\cos (4 v) + \cos (v) = 0 \Rightarrow \cos (4 v) = - \cos (v) \Rightarrow 4 v = \pm a r c \cos (- \cos (v)) + 2 πk = \pm (π - v) + 2 πk \Rightarrow 4 v_{1} = π - v_{1} + 2 πk \Rightarrow v_{1} = \frac{π}{5} + \frac{2 π}{5} k samt att 4 v_{2} = v_{2} - π + 2 πk \Rightarrow v_{2} = - \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} k k \in ℕ$

Facit säger dock annorlunda, nämligen att $v_{2} = \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3}$ (dvs. inget minustecken). Hur kan detta vara? Fel i facit? Om jag testar min lösning på V2 i originalekvationen så löses den med k=0,1,2... så jag misstänker ett fel i facit. Har jag rätt?

Tacksam för svar. Mvh!

edit: Jag har inte lyckats hitta någon bra hemsida som kan lösa trigonometriska ekvationer. Ifall någon vet om någon bra sådan hemsida så får ni gärna länka den.

Du och facit har samma svar. Om man ersätter $k$ i din lösning med $k + 1$ (detta ändrar inte lösningarna eftersom $k$ kan vara vilket heltal som helst), så får man att

$v_2 = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}(k + 1) = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}k = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}k$ .

Så lösningarna är dom samma.

Här skulle jag skriva om cos4v med formeln för dubbla vinkeln 2 ggr innan jag skulle göra något annat. Jag förstår inte hur du använder arc cos-funktionen i HL.

För övrigt är svaret i facit identiskt med ditt, fast ni har valt olika k. Om facit-k = 0 så är ditt-k lika med 1.

Den sida jag brukar använda först är WolframAlpha.

Aha! Tack så mycket för era svar!

smaragdalena skrev :
Här skulle jag skriva om cos4v med formeln för dubbla vinkeln 2 ggr innan jag skulle göra något annat. Jag förstår inte hur du använder arc cos-funktionen i HL.
För övrigt är svaret i facit identiskt med ditt, fast ni har valt olika k. Om facit-k = 0 så är ditt-k lika med 1.

Den sida jag brukar använda först är WolframAlpha.

smaragdalena, det funkar eftersom:

cos(4v) = -cos(v) =>

cos(4v) = cos(π-v)

För att likheten ska gälla måste:

4v = π-v +2πk

eller

4v = -(π-v) + 2πk

tomast80, din förklaring var mycket bättre! Den förklaringen köper jag, däremot inte den som stod i ursprungsinlägget.

Nu när jag kollade på ursprungsinlägget igen så ser jag att det är fel att $k \in ℕ$ , det ska vara $k \in ℤ$ .

Stokastisk skrev :
Nu när jag kollade på ursprungsinlägget igen så ser jag att det är fel att $k \in ℕ$ , det ska vara $k \in ℤ$ .

smaragdalena skrev :tomast80, din förklaring var mycket bättre! Den förklaringen köper jag, däremot inte den som stod i ursprungsinlägget.

Tack för era svar! Jag hade kanske kunnat utveckla min lösningsgång lite bättre. Japp, givetvis skall det vara Z och ej N. Tack än en gång.

Svara

Visa senaste svar