Trigonometrisk ekvation(2)

Det vore kanske lättare att lösa problemet om du började med att introducera en ny okänd: y=2x

Då får man

$$\begin{gathered} 5 \sin \left(2y\right) = 3 \sin \left(y\right) \\ 10 \sin \left(y\right)\cos \left(y\right) = 3 \sin \left(y\right) \end{gathered}$$

Snyggt att du använde sinus för dubbla vinkeln på sin(4x). Det lättaste sättet att lösa uppgiften på är nog att behålla sin(2x) i högerledet och inte byta ut det mot sinus för dubbla vinkeln. Då har du ett uttryck med argumentet 2x i bägge led:

$10\sin \left(2x\right)\cos \left(2x\right)=3\sin \left(2x\right)$

Om du kan flytta över högerledet till vänsterledet och få en ekvation som är lika med noll kanske du kan använda nollproduktsmetoden?

Problemet med ditt förslag till lösning är att du eventuellt delar på 0 (vi vet ju inte vad x är än) på rad 3 och det är ju riktigt kusligt!

När jag löser sånt här funderar jag inte så mycket vad jag gör utan bara följer olika regler, sen fungerar eller så fungerar det inte. Man kanske ska försöka göra det på ett annat sätt, vet inte hur andra gör. 

Men, jag vet inte hur jag ska göra .

Såhär? Jag vet att man ska skriva ut vinkeln och enligt formeln x + n * 180 eller 360 sen när man är rätt ute

14sinxcosx= 0

X = 1

X2 = -1

X=0 

X = 1/14

X =  sin(180-arcsin(1/14))

Hm nej

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

10 sin 2x  = 3sin2x

10 sin 2x - 3sin2x = 0

10sin(2sinx*cosx) - 6sinx*cosx= 0

Nej, vet inte vad det där blev.

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

Såhär kanske:

10sin2xcos2x -3sin2x = 0

sin2x(10cos(2x)-3)) = 0 

X = 0

X = 0.15

Det känns rätt. Skulle tro att det bara är att slå ut vinklarna på detta och skriva det enligt önskemål? Är det överlag såhär man brukar göra med såna här ekvationer?

Ja det sista är den metoden jag tänkte på. Men du får se över vad x blir. 

Jag vet att man ska skriva ut vinkeln och enligt formeln x + n * 180 eller 360 sen när man är rätt ute

Precis!

När man löser sådana här uppgifter är det naturligt att behöva testa några olika strategier och se om någon kan vara fruktbar. Att du såg en möjlighet att använda sinus för dubbla vinkeln är ju en jättebra början! Ofta vill man ha samma argument på båda sidor. Generellt blir det lättare att lösa då. 

Okej.

Tack! Men jag vet inte, jag får ut samma värden.

10cos(2x)-3)) = 0

10cos2x   -3  = 0

10cos2x = 3

cos2x = 3/10

Åh, är det så att vi typ inte kan veta vad varje indiviuduell vinkel är för någonting så därför är man nöjd här med att säga den sammanlagda vinkeln 2x=0.3? Annars förstår jag inte och kan inte få det till någonting annat än 0.15 faktiskt..

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Eller blir det dubbelvinkelsatsen för cos?

cos^2x - sin^2x = 3/10

Det här är ju samma svar som det första jag fick.. ^^'

1-sin^2 -sin^2x - 3/10 = 0

2sin^2 +3/10 -1 =0

sin^2 - 7/10 = 0

.. Saknar ju en bx term :P

$\sin 2x · \left(10 \cos 2x - 3\right) =0$

ger två ekvationer

1) $\sin 2x = 0$

2) $10 \cos 2x -3 =0$

Vilka lösningar har den första ekvationen?

1) Den första har lösningen 45° och 90°

Ja, sen då 45° + n * 360 osv.

Fast om x = 45 då sin (2*45) = sin 90 = 1

Ja oj, jag tänkte fel. Jag menar 90 och 180. Jag vet det, det bara.. ja, blev fel ändå

Jag tycker att det är bättre att ta det lite lugnare och skriva mer

Den första ekvationen har två lösningar:

$2x = 0^{\circ } + {360}^{\circ }n$

och

$2x = {180}^{\circ } + {360}^{\circ }n$

Då får man att $x = {180}^{\circ }n$ eller $x = {90}^{\circ } + {180}^{\circ }n$

Man kan slå ihop de två till ett uttryck $x = {90}^{\circ }·n$

Hur kan man lösa den andra ekvationen?

Den är mycket svårare att förklara i form av vinklar.

10 cos2x -3 = 0

10cos2x = 3

cos(2x) = 3/10

cos(2x) = arccos(3/10)

cos 2x = 72.54°

cosx = 72.54° / 2 = 36.27°

¤¤¤¤¤¤

x1 = 36.27°

x2 = -36.27° = 323.73­°

¤¤¤¤¤¤

x = +-36.27 + n * 360°

? :/

cos 2x = 72.54°

cosx = 72.54° / 2 = 36.27°

Nej, det stämmer inte.

$2x = \pm 72.{54}^{\circ } + {360}^{\circ }n$

Jag fattar inte, eller det har att göra med att man inte kan addera två vinklar rakt av?

Hur ska man veta vad x är då..

Nej jag begriper inte. om x är 36,27, blir ju resultatet att 2x är 72.54, hur kan det inte stämma

arccos y ger vinkel x så att cos x = y.

cos 2x = 72.54° är inte korrekt utan man får kanske skriva 2x = arccos 0,3 = 72.54°

Sedan är det viktigt att ha perioden 360n från början. Annars får du fel period i svaret.

$2x = \pm 72.{54}^{\circ } + {360}^{\circ }n$

När man har skrivit så så får man hitta uttrycket för x

Du menar att det finns oändligt många vinklar som blir = värdet för cos72.54, därför är det fel att skriva 2x = 72.54°?

.. Borde inte cos2x = cos72.54 vara ett korrekt svar egentligen? för $-\infty =x=\infty$

Är 2x = +- 72.54 + 360n rätt svar, eller 2x =arccos 0.3 = 72.54?

Ja, det är oändligt många vinklar.

Korrekt svar är $x = \pm 36,{27}^{\circ } + {180}^{\circ }n$

:/

Men skrev jag inte så? Jag hade inte med det där 180° n iofs.. Men det måste naturligtvis vara så i och med faktor 2 där. Förstår halvt. Eller jag förstår det men får ont i huvudet av att tänka på det lite :P

Tack i alla fall.

Du hade period 360

MaKe skrev:

Ja, det är oändligt många vinklar.

Korrekt svar är $x = \pm 36,{27}^{\circ } + {180}^{\circ }n$

Jag kollar på en youtube video samtidigt här för att försöka lära mig mer.

Då har personen ett exempel: 3cos2$\theta$=$2{\cos }^2\theta$

Så vill man skriva om allting så det står med samma term, då. Det förstår jag.

Så han gör om cos2$\theta$till $2{\cos }^2\theta -1$.

Så 3(2cos^2$\theta$-1)= 2cos^2$\theta$

Och säger naturligtvis då att "det blir så". Det här verkar halvt användbart, ser det ingenstans i min bok här.

MaKe skrev:

Du hade period 360

Yes, och jag övervägde inte att det eventuellt var fel heller så. Jag är med.

Han använder formler för dubbla vinklar.

$\cos 2\alpha = \cos ²\alpha - \sin ²\alpha = 2\cos ²\alpha - 1 = 1 - 2\sin ²\alpha$

MaKe skrev:

Han använder formler för dubbla vinklar.

$\cos 2\alpha = \cos ²\alpha - \sin ²\alpha = 2\cos ²\alpha - 1 = 1 - 2\sin ²\alpha$

Okej.. Jag har bara sett dem skrivna på första sättet där. 

Så det är:

$$\begin{gathered} \cos 2a = {\cos }^{2}a - {\sin }^{2}a = {\cos }^{2}a -(1-{\cos }^{2}a) \\ = {\cos }^{2}a -1 +{\cos }^{2}a = 2{\cos }^{2}a -1 \\ = 2(1-{\sin }^{2}a)-1 = 2-2{\sin }^{2}a -1 = 1-2{\sin }^{2}a \end{gathered}$$

Yes, jag kunde :) Ska komma ihåg det där. Supertack för det!

Försöker lösa den här igen nu och.. 

Jag har ingen aning om vad jag ska göra.

Underbart.

©©©©©©

När det står såhär: 5sin(4x)

Så flyttar man ut en faktor 2 så det blir:

10sin(2x).

Sen blir det här tydligen då:

10sin2x*cos2x

Men tidigare när man skriver ut Sin(2x) har det blivit såhär: 2sinx*cosx.

I den här uppgiften behåller man 2x som vinkel i alla fall. Förstår inte varför det är så.

$5\left(\sin \left(4x\right)\right)=5\left(\sin \left(2 · 2x\right)\right) = 5\left(2 \sin 2x \cos 2x\right) = 10 \sin 2x \cos 2x$

Ja, okej.

Tycker inte det är det jätte logiskt. Jag hade velat ha 5(4 sinx cosx)

Sin2x = 2sinx cosx, sedan vill man upprepa det här 2 gånger till: 2(2sinx cosx).

Slutligen 20 sinx cos x 

..

Har funderat lite till och det känns rimligare. Får pröva igen 

$5\sin 4x = 10 \sin 2x \cos 2x = 20\sin x \cos x \cos 2x =20 \sin x \cos x \left(\cos ² x - \sin ² x\right)$

Fattar, förrutom det där med 2x där.

Eller kan man tänka:

5 sin 4x = 5 sin(2x+2x) = Sin2x cos2x + cos2x sin2x = 5(2sin2xcos2x) 

Jag vet att det är typ exakt det vi skrivit redan med den triviala skillnaden att jag skrev 2x+2x. Men det verkar vara rätt.

Ja, 2x + 2x = 2*2x

Av någon anledning förstår jag det tidigare bättre. Tack