Trigonometri - uttryck cos3x som ett polynom av t

Jag har haft lite svårigheter att lösa denna uppgift från MaFy 2008.

Jag tänkte börja med att förenkla lite för att använda mig av additionsformeln för cos:

$\cos (2 x + x) = \cos 2 x \times \cos x - \sin 2 x \times \sin x$

Sedan tänkte jag byta ut dubbla vinkeln för cosinus och sinus, men det blir väldigt oerhört rörigt efter det och kommer ingenstans. Så gör jag rätt? Finns det ett annat sätt?

$(2 \cos x - 1) \times \cos x - (2 \sin x \times \cos x) \sin x = 2 \cos^{3} x - \cos x - 2 \sin^{2} x \times \cos x$

Det är nog det där sinx som förstör lite här.

Om du nu bara använder att

$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$

så är du ju i princip färdig.

Du är inne på rätt spår! Eftersom du har sin-termer på formen: $\sin^2 x$ kan du ju ersätta dem med $1-\cos^2 x$ .

Metoden med att rekursivt applicera additionsfomlerna går bra men det vore en stor förlust att inte bekanta sig med följande trick.

Det kanske mest kraftfulla tricket för att utrycka cosinus av en heltalsmultipel av x som ett polynom i cosnus av x är att använda sig av de-moivres formel

$\cos(nx) + i\sin(nx) = (\cos(x) + i \sin(x))^n$

Realdelen av högerledet är alltså $\cos(nx)$ . För vårt n = 3 låt oss beteckna

Låt oss beteckna $t = \cos(x)$ och $s = \sin(x)$ där vi också minns att $s^2 = 1 - t^2$

$(\cos(x) + i\sin(x))^3 = (t + iv)^3 = t^3 + 3t^2 (is) + 3t (is)^2 +(is)^3 = t^3 - 3ts^2 + i(3t^2 s - s^3)$

Alltså

$\cos(3x) = t^3 - 3ts^2 = t^3 - 3t(1 - t^2) = 4t^3 - 3t$

Easy-as-pie. (Notera realdelen per definition alltid innehåller endast jämna potenser av $s$ eftersom är endast då $i^2 = -1$

Kan man binomialsatsen så kan man härleda en allmänn formel för $\cos(nx)$

Strålande, de Moivres formel hade jag inte ens tänkt tanken på. Även fast jag gick igenom det när jag pluggade på gymnasiet. Smart!

Tack för jättebra svar allihopa!

Svara

Visa senaste svar