trigonometri (MaFy)

Du har ungefär resonerat korrekt, men du missar att p < 0. Så det gäller ju att

$\cos(\alpha) = -\sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = -\sqrt{1 - p^2}$

Därför är

$\tan(\alpha) = \frac{p}{-\sqrt{1 - p^2}} = -\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}$

Notera här att detta är ett positivt uttryck eftersom p < 0.

Men om p < 0 dvs. negativ så blir väl 

$\cos \left(\alpha \right)\hspace{0.17em}= \sqrt{1-{\sin }^2\left(\alpha \right)} = \sqrt{1-(-p{)}^2} = \sqrt{1-p^2}$ hur får du detta till något negativt? 

och om man stoppar in cos och sin i $\tan \left(\alpha \right) =\hspace{0.17em}\frac{-\sin \left(\alpha \right)}{-\cos \left(\alpha \right)}$ så får man 

$\tan \left(\alpha \right) =\hspace{0.17em}\frac{-p}{-\sqrt{1-p^2}}$

Eftersom $\cos(\alpha) < 0$ så gäller det att

$\cos(\alpha) = -\sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = -\sqrt{1 - p^2}$

Man får det alltså till "minus kvadratroten ...." för cosinus är negativ då $\pi < \alpha < 3\pi/2$. Om du inte har minustecknet framför så skulle ju cosinus vara positiv vilket inte stämmer.

Sedan gäller det ju att $\sin(\alpha) = p$, så man får att

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{p}{-\sqrt{1 - p^2}} = -\frac{p}{\sqrt{1 - p^2}}$

Notera att de minustecken du satt in i nämnare och täljare när du skriver bråket av sinus och cosinus inte gör något eftersom de tar ut varandra.

ATsmartis: du antar på något sätt att:

$\sin \alpha = -p$, där $p>0$, men det stämmer inte.

$\sin \alpha = p$ och $p< 0$ eftersom vinkeln $\alpha$ ligger i tredje kvadranten.