Trigonometri, liksidighet och koordinat system
Trigonometri nu:
''Den färgade rektangeln i figuren har höjden x cm och area y .
a) då b=18 cm och h=24cm kan area skrivas . Beräkna rektangels maximala area.
b) visa hur man kommer fram till uttrycket för arean ovan.
c) både triangelns form och värdet på b och h kan variera. Malin påstår att rektangels maximala area är alltid hälften av triangels area. Undersök om detta är sant.''
a) är 108. c) löste jag igår
Jag löste b) med att bestämma att triangel var i en koordinat system:
Så höjden =
Men min klasskamrat, låt oss kalla honom Abdullah (och inte Malin/Calle/Peter för en gång skull...) påstår att jag kan inte använda mig av min koordinat system eftersom rektangel rör inte x-axeln. Eftersom min ekvation stämmer med y värden har jag bara svart att det spelar inga roll... men gör det?
Furthermore! I faciten står det att likformigheten gäller och att .
Hur så? Triangeln är ju inte liksidigt?
Triangel ABC är likformig med ADE.
Använd detta för att sätta upp villkor som ger ekvationen för arean.
men finns det nåt till regel med höjden?
Och funkar min metod?
Ja fyll på din formel med
Ok nu förstår jag.
Funkar min lösning också?
(hoppsan jag menade inget dåligt med Kalle lol!)
Din lösning skulle funka om du motiverar ordentligt vilka ekvationer de båda linjerna i din bild har (de som möter varandra i punkten (24,a). Bara bilden räcker inte. Om du räknar på det här, kommer a att försvinna ur ditt uttryck,och du kommer fram till det uttryck du vill ha (fast du har tappat ett minustecken i ditt förstainlägg).
smaragdalena skrev :Din lösning skulle funka om du motiverar ordentligt vilka ekvationer de båda linjerna i din bild har (de som möter varandra i punkten (24,a). Bara bilden räcker inte. Om du räknar på det här, kommer a att försvinna ur ditt uttryck,och du kommer fram till det uttryck du vill ha (fast du har tappat ett minustecken i ditt förstainlägg).
Jag har motiverat att vi är i en system med en rätt linje som går ner med k koefficient -18/24 och m +18 så klart, och att det är vår y. X*y är nu vår rektangel.
Och det spelar väl ingen roll om det är en tomt utrymme under min rektangel? Det är inget integral vi beräknar?
Den viktigaste är att jag var rätt hehe... Jag reserverar alla mina dumma frågor och ärligheten för pluggakuten, i klassrummet försöker jag att alltid vara rätt :p
Daja skrev :Jag har motiverat att vi är i en system med en rätt linje som går ner med k koefficient -18/24 och m +18 så klart, och att det är vår y. X*y är nu vår rektangel.
Och det spelar väl ingen roll om det är en tomt utrymme under min rektangel? Det är inget integral vi beräknar?
Jo, det spelar roll att det är ett tomt utrymme där.
Jag vet inte om jag riktigt förstår vad du menar, men om den gröna rektangelns övre högra hörn har koordinaterna (x, y) så är x*y lika med den sammanlagda arean hos både den gröna och den röda rektangeln.
Om du vill beräkna endast den gröna rektangelns area så måste du först beräkna rektangelns höjd, vilken är övre y-värdet minus undre y-värdet.
Din linje har k = -18/24 om och endast om a=0, ochvi vet inte att det är så.
Kort sagt: Din lösning är felaktig, men Abduls påstående att det inte skulle kunna gå att göra så är också fel.
Det y du vill ha är det lodräta avståndet mellan de båda linjerna vid x-värdet x. Det får du genom att räkna ut y-värdet för den övre linjen minue y-värdet för den undre linjen, och det kommer alltid att bli 0,75x vilket värde det än är på a.
Jag inte har nedre ekvationen, jag bara har kx+m.
Asch nu måste jag erkänna att det var fel för att vara säkert att han använder sig inte av den...
Yngve skrev :Daja skrev :Jag har motiverat att vi är i en system med en rätt linje som går ner med k koefficient -18/24 och m +18 så klart, och att det är vår y. X*y är nu vår rektangel.
Och det spelar väl ingen roll om det är en tomt utrymme under min rektangel? Det är inget integral vi beräknar?
Jo, det spelar roll att det är ett tomt utrymme där.
Jag vet inte om jag riktigt förstår vad du menar, men om den gröna rektangelns övre högra hörn har koordinaterna (x, y) så är x*y lika med den sammanlagda arean hos både den gröna och den röda rektangeln.
Om du vill beräkna endast den gröna rektangelns area så måste du först beräkna rektangelns höjd, vilken är övre y-värdet minus undre y-värdet.
Den röda är inte en rektangel: 
Och nu inser jag att min x och y koordinat system är inte lodrätt, så jag måste berätta för honom innan provet.
Pust, jag var så glad igår :/
Tack för att ni rätade!
Jag menade denna röda rektangel, jag såg inte riktigt på din bild.
x*y = arean för grön rektangel + arean för röd rektangel.
Egentligen borde jag inte hålla på idag och vila innan den nationella prov, men jag vill fatta! Om resonemang är felaktigt,
hur kommer det att min avtagande linje i koordinatsystem ger mig den rätta ekvation för y (y= -(18/24)x+18), och volymen (y=18x-0,75x^2)
Försöka men kan inte rulla huvudet kring det. Jag menar wrap my head around :)
Daja skrev :Egentligen borde jag inte hålla på idag och vila innan den nationella prov, men jag vill fatta! Om resonemang är felaktigt,
hur kommer det att min avtagande linje i koordinatsystem ger mig den rätta ekvation för y (y= -(18/24)x+18), och volymen (y=18x-0,75x^2)
Försöka men kan inte rulla huvudet kring det. Jag menar wrap my head around :)
Det vet jag inte. Jag har inte gått igenom dina beräkningar och hinner inte nu.
Men någon annan kanske hinner?
Ah det är inte så mycket beräkningar.
Det är bara att vi har en rätt linje som går neråt (dvs negativ k), har dy/dx som är 18/24, dvs 0,75 och korsar y axeln i punkten +18. Och därifrån har jag bestämt att y (högre kant av rektangel) är en funktion av x (nedre kant)...
Det du har räknat på är en triangel med hörnen i (0,0), (0,18) och (24,0). Du borde ha räknar på en triangel med hörnen i (0,0), (0,18) och (24,a) (eller s eller nånting) för att få den situation du borde vilja ha. Du har beräkningarna i din andra tråd.
Men varför blev det rätt överhuvud taget?
Som Smaragdalena säger - du har räknat på en rätvinklig triangel med basenn18 och och höjden 24.
Det som är intressant och orsaken till att du ändå fick fram rätt svar är det faktum att likformigheten och därmed uttrycket 18x - 0,75x^2 för rektangelns area gäller även för en rätvinklig triangel med bas 18 och höjd 24.
Om triangeln är rätvinklig kan man rita in den i ett x/z-koordinatsystem och beräkna rektangelns area enligt din metod (se bild).
Jag väljer z istället för y på andra axeln, dels eftersom rektangelns bredd anges till z i uppgiften, dels eftersom y används för triangelns area så det finns risk för sammanblandning annars.
Din lösningsmetod skulle alltså ha varit OK om:
- Du hade resonerat dig fram till att problemet är identiskt med fallet rätvinklig triangel.
- Du hade ritat din figur med en rätvinklig triangel istället innan du gick vidare med räta linjens ekvation.
Yngve skrev :Som Smaragdalena säger - du har räknat på en rätvinklig triangel med basenn18 och och höjden 24.
Det som är intressant och orsaken till att du ändå fick fram rätt svar är det faktum att likformigheten och därmed uttrycket 18x - 0,75x^2 för rektangelns area gäller även för en rätvinklig triangel med bas 18 och höjd 24.
Om triangeln är rätvinklig kan man rita in den i ett x/z-koordinatsystem och beräkna rektangelns area enligt din metod (se bild).
Jag väljer z istället för y på andra axeln, dels eftersom rektangelns bredd anges till z i uppgiften, dels eftersom y används för triangelns area så det finns risk för sammanblandning annars.
Din lösningsmetod skulle alltså ha varit OK om:
- Du hade resonerat dig fram till att problemet är identiskt med fallet rätvinklig triangel.
- Du hade ritat din figur med en rätvinklig triangel istället innan du gick vidare med räta linjens ekvation.
Tack Yngve och alihoppa!
Jag har missat att Smaragdalena har skrivit att det gällde en rättvinklig triangel. Jag har svårt att fokusera på svenska ibland!
Nu förstår jag 100%. Ska skriva ner den i min notebook för hemliga lösningar och hoppas att kunna ta det fram nån gång!
