Trigonometri, grunken

Hej daka, och välkommen till Pluggakuten.

Börja med att rita in vinkeln $v$ i enhetscirkeln. I a) ska den tydligen vara någonstans mellan $0$ och $\pi$. Dessutom ska

$\cos(v)=-2/3$

Kan du räkna ut vilket värde  $\sin(v)$ måste ha då? Använd till exempel trigonometriska ettan!

$\cos^2(v)+\sin^2(v)=1$

Och se till att välja rätt lösning utifrån din bild av enhetscirkeln.

Visa dina försök.

D4NIEL skrev:

Hej daka, och välkommen till Pluggakuten.

Börja med att rita in vinkeln $v$ i enhetscirkeln. I a) ska den tydligen vara någonstans mellan $0$ och $\pi$. Dessutom ska

$\cos(v)=-2/3$

Kan du räkna ut vilket värde  $\sin(v)$ måste ha då? Använd till exempel trigonometriska ettan!

$\cos^2(v)+\sin^2(v)=1$

Och se till att välja rätt lösning utifrån din bild av enhetscirkeln.

Visa dina försök.

Försökte de innan men får konstiga tal som inte liknar facit alls, här är mitt försök:

Tillägg: 17 sep 2023 15:00

insåg nu att mitt första steg är helt fel, gör om

Ok, en hållpunkt är att $\sin(v)=\sqrt{1-\cos^2(v)}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ för uppgift a).

D4NIEL skrev:

Ok, en hållpunkt är att $\sin(v)=\sqrt{1-\cos^2(v)}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ för uppgift a).

det är där något blir konstigt för mig, får 1/2

$\cos(v)=-2/3$

$\cos^2(v)=4/9$

$\sin^2(v)=1-4/9=5/9$

$\sin(v)=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

Är du med?

Orsaken till att vi väljer den positiva roten är att vi vet att vinkeln $v$ ska ligga mellan 0 och $\pi$

D4NIEL skrev:

$\cos(v)=-2/3$

$\cos^2(v)=4/9$

$\sin^2(v)=1-4/9=5/9$

$\sin(v)=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

Är du med?

Orsaken till att vi väljer den positiva roten är att vi vet att vinkeln $v$ ska ligga mellan 0 och $\pi$

yes, insåg nu att jag råkade tänka (cosv)^2 som om de vore ($\sqrt{3}/2$)^2

Bra! Det "svåra" i uppgiften var ju att komma på att man kunde använda additionsformeln för cosinus. Sen får man se upp med slarv!

I uppgift b) måste du välja den andra roten eftersom vinkeln nu ligger mellan $\pi$ och $2\pi$.

Jag skulle fortfarande rekommendera att du gör en skiss av enhetscirkeln så du förstår skillnaden mellan a) och b) även om uppgifterna är snarlika :)

D4NIEL skrev:

Bra! Det "svåra" i uppgiften var ju att komma på att man kunde använda additionsformeln för cosinus. Sen får man se upp med slarv!

I uppgift b) måste du välja den andra roten eftersom vinkeln nu ligger mellan $\pi$ och $2\pi$.

Jag skulle fortfarande rekommendera att du gör en skiss av enhetscirkeln så du förstår skillnaden mellan a) och b) även om uppgifterna är snarlika :)

 

yes, det enda jag tycker är konstigt är att vi har vi har ju -1/2 framför parentesen så borde vi inte få -$\sqrt{5}/3$

Jo, det stämmer, är inte helt säker på att jag förstår din fråga?

D4NIEL skrev:

Jo, det stämmer, är inte helt säker på att jag förstår din fråga?

I facit har dem skrivit tvärtom, är därav lite förvirrad. I intervallet 0<v<pi har dem valt den negativa lösningen.

Då har de gjort fel, rätt svar på uppgift a) är (med $\cos(v)=-2/3$ och $\sin(v)=+\frac{\sqrt 5}{3}$):

$\cos(v+\pi/6)=\cos(v)\cos(\pi/6)-\sin(v)\sin(\pi/6)=-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt5}{6}\approx -0.95$