trigonometri, derivata.

Förenkla:

$f(x)=\dfrac{\sin (\pi x)}{\sin (2\pi x)}$=

=$\dfrac {1}{2\cos (\pi x)}$

Då blir det lite enklare

dr_lund skrev:

Förenkla:

$f(x)=\dfrac{\sin (\pi x)}{\sin (2\pi x)}$=

=$\dfrac {1}{2\cos (\pi x)}$

Då blir det lite enklare

Okej och då kan jag väl skriva om det till;

$\frac{\mathrm{Sec\pi x}}{2}$

Som jag sen kollade upp derivatan på som är ;

$\frac{\pi sec (\pi x ) \tan (\pi x ) }{2}$

men där hänger jag riktigt inte med längre

Malle skrev:

Okej och då kan jag väl skriva om det till;

$\frac{\mathrm{Sec\pi x}}{2}$

Som jag sen kollade upp derivatan på som är ;

$\frac{\pi sec (\pi x ) \tan (\pi x ) }{2}$

 

men där hänger jag riktigt inte med längre

Kanske enklare att skriva om $\frac{1}{2\cos (\pi x)}$ som $\frac{1}{2}(\cos (\pi x))^{-1}$ och sedan derivera direkt. Glöm inte inre derivatan.

Det är två olika farliga fel här.

Det första är att du förkortar med $\sin 2\pi x$ men missar andra termen i täljaren. Du kan inte dela bara den första termen med $\sin 2\pi x$.

Det andra är att du bryter ut x ur $\cos\pi x$ så det blir $x \cos\pi$. Det går inte alls. Man kan bara bryta ut när det är en ren multiplikation.

Men om jag skriver om det till  $f\left(x\right)=\frac{1}{2}(\cos {\left(\mathrm{\pi x}\right))}^{-1}$

och ska sen köra derivatan på det så får jag ju;

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)= -\frac{1}{2}{\left(Cos\mathrm{\pi x}\right)}^{-2} \times -\mathrm{\pi Sin\pi x} \\ = \frac{1}{2}\mathrm{\pi Sin\pi x}{\left(\mathrm{Cos\pi x}\right)}^{-2} \end{gathered}$$

Alternativt;

$\frac{\mathrm{\pi Sin\pi x}}{2{\left(\mathrm{Cos\pi x}\right)}^2}$

Men här så återstår problemet att jag inte riktigt förstår hur jag ska kunna räkna nu f'(x)=0

Malle skrev:

[...]

Alternativt;

$\frac{\mathrm{\pi Sin\pi x}}{2{\left(\mathrm{Cos\pi x}\right)}^2}$

Men här så återstår problemet att jag inte riktigt förstår hur jag ska kunna räkna nu f'(x)=0

Ja. Det är enklare än du tror.

Du har en kvot vars värde ska vara lika med 0.

Vad säger det dig om täljaren? Om nämnaren?

Yngve skrev:

Malle skrev:

[...]

Alternativt;

$\frac{\mathrm{\pi Sin\pi x}}{2{\left(\mathrm{Cos\pi x}\right)}^2}$

Men här så återstår problemet att jag inte riktigt förstår hur jag ska kunna räkna nu f'(x)=0

Ja. Det är enklare än du tror.

Du har en kvot vars värde ska vara lika med 0.

Vad säger det dig om täljaren? Om nämnaren?

Att antingen  täljaren eller nämnaren är 0? 

absolut inte nämnaren! Varför då?

Täljaren ska vara n oll!

Malle skrev:

Att antingen  täljaren eller nämnaren är 0? 

Nästan rätt. Nämnaren får inte vara lika med 0, för då är bråket odefinierat.

Det enda sättet som ett bråk kan ha värdet 0 är om täljaren är lika med 0.

Så svaret blir det att x är 0 ? vet inte varför jag har så svårt att begripa detta. För sin0=0 och om täljaren  är noll så blir väl hela talet 0 ?

Finns det fler värden som gör täljaren till 0?

Malle skrev:

Så svaret blir det att x är 0 ? vet inte varför jag har så svårt att begripa detta. För sin0=0 och om täljaren  är noll så blir väl hela talet 0 ?

Ja, att x = 0 är en möjlighet.

Men som Ture antyder, det finns fler värden på x som gör att täljaren blir 0. Många fler. Många många fler.

Du hittar alla dessa värden om du löser ekvationen $\sin (\pi x)=0$.

Vet du hur du ska lösa den ekvationen?

$\sin \left(\pi x\right)=0 -> \mathrm{\pi x}= \mathrm{\pi } \pm 2\mathrm{\pi } -> \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi } + 2\mathrm{\pi }}{\mathrm{\pi }} ?$

Längesen jag arbetade med ren trigonometri nu, men tänker väl något liknande ?

Malle skrev:

$\sin \left(\pi x\right)=0 -> \mathrm{\pi x}= \mathrm{\pi } \pm 2\mathrm{\pi } -> \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi } + 2\mathrm{\pi }}{\mathrm{\pi }} ?$

 

Längesen jag arbetade med ren trigonometri nu, men tänker väl något liknande ?

Ja nästan. Som du kanske kommer ihåg (enhetscirkeln) så här $sin(v)=0$ två lösningar i intervallet $0\leq v<2\pi$, nämligen $v=0$ och $v=\pi-0=\pi$. Sen finns för var och en av dessa lösningar en periodicitet på $2\pi$.

Sammanslaget blir då din lösningsmängd $\pi x=n\pi$.

Förenkla detta till ett enkelt uttryck för $x$.

Okej men om jag gör det:

$\mathrm{\pi x}=\mathrm{n\pi } -> \mathrm{x}=\frac{\mathrm{n\pi }}{\mathrm{\pi }} -> \mathrm{x}=\mathrm{n}$

Men n kommer ju inte finns som "en punkt" på grafen. Så jag förstår inte vad detta innebär. Eller hur jag kommer kunna ta det här vidare om jag senare vill räkna ut t.ex. lokala max och min punkter.

Malle skrev:

Okej men om jag gör det:

$\mathrm{\pi x}=\mathrm{n\pi } -> \mathrm{x}=\frac{\mathrm{n\pi }}{\mathrm{\pi }} -> \mathrm{x}=\mathrm{n}$

Men n kommer ju inte finns som "en punkt" på grafen. Så jag förstår inte vad detta innebär. Eller hur jag kommer kunna ta det här vidare om jag senare vill räkna ut t.ex. lokala max och min punkter.

Ditt resultat tyder på att det finns oändligt många värden på x för vilka grafen har en horisontell tangent.

Och det kan väl vara OK. Uppgiften gällde ju att "hitta en horisontell tangent av en graf".

Yngve skrev:

Malle skrev:

Okej men om jag gör det:

$\mathrm{\pi x}=\mathrm{n\pi } -> \mathrm{x}=\frac{\mathrm{n\pi }}{\mathrm{\pi }} -> \mathrm{x}=\mathrm{n}$

Men n kommer ju inte finns som "en punkt" på grafen. Så jag förstår inte vad detta innebär. Eller hur jag kommer kunna ta det här vidare om jag senare vill räkna ut t.ex. lokala max och min punkter.

Ditt resultat tyder på att det finns oändligt många värden på x för vilka grafen har en horisontell tangent.

Och det kan väl vara OK. Uppgiften gällde ju att "hitta en horisontell tangent av en graf".

Extrafråga: hur många horisontella tangenter har grafen?

Då det är en sinusgraf så har väl den oändligt med tangenter. för kurvan pågår väl förevigt?

Malle skrev:

Då det är en sinusgraf så har väl den oändligt med tangenter. för kurvan pågår väl förevigt?

Har du ritat?

Här kommer en graf jag skapade till en tidigare deluppgift; i intervallet -3,3

Malle skrev:

Här kommer en graf jag skapade till en tidigare deluppgift; i intervallet -3,3

 

Hur många OLIKA horisontella tangenter kan du rita i den grafen?

Smaragdalena skrev:

Malle skrev:

Här kommer en graf jag skapade till en tidigare deluppgift; i intervallet -3,3

 

Hur många OLIKA horisontella tangenter kan du rita i den grafen?

7 stycken?

Malle skrev:

Smaragdalena skrev:

Visa föregående citat

Malle skrev:

Här kommer en graf jag skapade till en tidigare deluppgift; i intervallet -3,3

 

Hur många OLIKA horisontella tangenter kan du rita i den grafen?

7 stycken?

Rita in dem och lägg upp bilden!

Har inte åtkomst till en dator för tillfället. Men jag har nog inte riktigt haft kvar  i skallen vad dom frågar efter. svaret blir väl på -3 , -2 , -1 , 0 , 1, 2, 3? 

Malle skrev:

Har inte åtkomst till en dator för tillfället. Men jag har nog inte riktigt haft kvar  i skallen vad dom frågar efter. svaret blir väl på -3 , -2 , -1 , 0 , 1, 2, 3? 

Hur menar du? Du skall hitta en horisontell tangent ( eller flera, enligt följdfrågorna) till grafen. Vad betyder dina siffror?

Jag kan ju måla upp en horisontell tangent på -3 , -2 , -1 , 0 , 1, 2, 3 längst x-axeln för där är derivatan 0?

Malle skrev:

Jag kan ju måla upp en horisontell tangent på -3 , -2 , -1 , 0 , 1, 2, 3 längst x-axeln för där är derivatan 0?

Du kan fortfarande inte ha gjort det. Ta en av punkterna och rita en riktigt lång fin tangentlinje där.

Men dom frågar ju om vad tangenten är utan bara var den finns/kan befinna sig?

Malle skrev:

Men dom frågar ju om vad tangenten är utan bara var den finns/kan befinna sig?

Ännu längre. 

Vad är skillnaden mellan vad en linje är och var den befinner sig?