Trigonometri - antalet lösningar

ATsmartis skrev :

 

Rätt svar är (b)

 

Jag vet inte riktigt hur man löser denna.

 

Försökte så här men det blir fel:

$$\begin{gathered} 2{\sin }^{2}x\times \ln \left(2\right)+\ln \left(1\right)=\cos 2x\ln \left(2\right) \\ 2{\sin }^{2}x=\cos 2x \\ \sin x=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

som ger 2 lösningar i angivet intervall. 

Du har logaritmerat varje term för dig, men då upphör likheten att gälla eftersom $ln(a+b)\ne ln\left(a\right)+ln\left(b\right)$ i allmänhet.

Försök istället att skriva om potensuttrycken med hjälp av trigonometriska formler och potenslagar så att du sedan kan variabelsubstituera fram en enkel andragradsekvation.

Yngve skrev :

ATsmartis skrev :

 

Rätt svar är (b)

 

Jag vet inte riktigt hur man löser denna.

 

Försökte så här men det blir fel:

$$\begin{gathered} 2{\sin }^{2}x\times \ln \left(2\right)+\ln \left(1\right)=\cos 2x\ln \left(2\right) \\ 2{\sin }^{2}x=\cos 2x \\ \sin x=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

som ger 2 lösningar i angivet intervall. 

Du har logaritmerat varje term för dig, men då upphör likheten att gälla eftersom $ln(a+b)\ne ln\left(a\right)+ln\left(b\right)$ i allmänhet.

Försök istället att skriva om potensuttrycken med hjälp av trigonometriska formler och potenslagar så att du sedan kan variabelsubstituera fram en enkel andragradsekvation.

 menar du såhär 

$4^{{\sin }^{2}x}-2^{1-2{\sin }^{2}x}+1=0$

och sedan kanske byta ut sin(x)=t. 

Men det känns inte som jag förstår riktigt ännu. 

Det blir nog lättast om du kollar på hur grafen ser ut för de två. T.ex. 2^cos2x kan inte vara större än 2 osv. När kan $4^{{\sin }^{2}x}-2^{\cos 2x}=-1$

ATsmartis skrev :.

 menar du såhär 

$4^{{\sin }^{2}x}-2^{1-2{\sin }^{2}x}+1=0$

och sedan kanske byta ut sin(x)=t. 

Men det känns inte som jag förstår riktigt ännu. 

Jag menar så här:

$4^{si{n}^2\left(x\right)}-2^{cos\left(2x\right)}+1=0$

Formel för dubbla vinkeln: $cos\left(2x\right)=1-2si{n}^2\left(x\right)$

$4^{si{n}^2\left(x\right)}-2^{1-2si{n}^2\left(x\right)}+1=0$

Potenslag $a^{b-c}=a^b·a^{-c}$

$4^{si{n}^2\left(x\right)}-2^1·2^{-2si{n}^2\left(x\right)}+1=0$

Substituera $t=si{n}^2\left(x\right)$. Eftersom $0\le {\sin }^2\left(x\right)\le 1$ så gäller att $0\le t\le 1$

$4^t-2·2^{-2t}+1=0$

Potenslag $(a^b{)}^c=a^{b·c}$

$4^t-2·(2^2{)}^{-t}+1=0$

$4^t-2·4^{-t}+1=0$

Multiplicera med $4^t$

$4^{2t}-2+4^t=0$

Potenslag $(a^b{)}^c=a^{(b·c)}$

$(4^t{)}^2-2+4^t=0$

$(4^t{)}^2+4^t-2=0$

PQ-formeln

$4^t=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{(\frac{1}{2}{)}^2+2}$

$4^t=-\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}$

$(4^t{)}_1=1$

$(4^t{)}_2=-2$

Eftersom $0\le t\le 1$ så måste  $1\le 4^t\le 4$.

Därför är endast $(4^t{)}_1=1$ en giltig rot, vilket innebär att $t=0$ och alltså att $x=n·\pi$.

Av dessa lösningar är det endast $x=\pi$ som uppfyller villkoret.

Yngve skrev :

ATsmartis skrev :.

 menar du såhär 

$4^{{\sin }^{2}x}-2^{1-2{\sin }^{2}x}+1=0$

och sedan kanske byta ut sin(x)=t. 

Men det känns inte som jag förstår riktigt ännu. 

Jag menar så här:

$4^{si{n}^2\left(x\right)}-2^{cos\left(2x\right)}+1=0$

Formel för dubbla vinkeln: $cos\left(2x\right)=1-2si{n}^2\left(x\right)$

$4^{si{n}^2\left(x\right)}-2^{1-2si{n}^2\left(x\right)}+1=0$

Potenslag $a^{b-c}=a^b·a^{-c}$

$4^{si{n}^2\left(x\right)}-2^1·2^{-2si{n}^2\left(x\right)}+1=0$

Substituera $t=si{n}^2\left(x\right)$. Eftersom $$0\leq sin^2(x)\leq 1$$ så gäller att $0\le t\le 1$

$4^t-2·2^{-2t}+1=0$

Potenslag $(a^b{)}^c=a^{b·c}$

$4^t-2·(2^2{)}^{-t}+1=0$

$4^t-2·4^{-t}+1=0$

Multiplicera med $4^t$

$4^{2t}-2+4^t=0$

Potenslag $(a^b)^c=a^{b\cdot c}$

$(4^t{)}^2-2+4^t=0$

$(4^t{)}^2+4^t-2=0$

PQ-formeln

$4^t=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{(\frac{1}{2}{)}^2+2}$

$4^t=-\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}$

$(4^t{)}_1=1$

$(4^t{)}_2=-2$

Eftersom $0\leq t\leq 1$ så måste  $1\le 4^t\le 4$.

Därför är endast $(4^t)_1=1$ en giltig rot, vilket innebär att $t=0$ och alltså att $x=n·\pi$.

Av dessa lösningar är det endast $x=\pi$ som uppfyller villkoret.

Tusen tack!