Trigonometri

Föraren skrev :

"Bestäm alla lösningar till ekvationen ${\sin }^2\left(v\right)+4\times \cos \left(v\right)=4$"

Jag har kommit en bit:

(m.h.a. trigonometriska formeln ${\sin }^2\left(v\right)+{\cos }^2\left(v\right)=1$)

${\sin }^2\left(v\right)+4\times \cos \left(v\right)=4 \to 1-{\cos }^2\left(v\right)+4\times \cos \left(v\right)-4=0$

$-{\cos }^2\left(v\right)+4\times \cos \left(v\right)-3=0$

$\left(\cos \right(v)=t)$

$-t^2+4t-3=0$

$t^2-4t+3=0$

PQ$\to$$t=3, t=1$ där vi kan utesluta $t=3$ då $t$ max får vara $1$.

I facit står det $x=n\times 2\pi$. Hur får jag fram detta svaret?

t= 1 -> cos(v) = 1 -> v = ±0 +n*2pi. 

Hur kommer du fram till att $v=\pm 0+n\times 2\pi$? Det förvirrar mig...

> Jag har kommit en bit

Inte en bit, utan 99% bra räknat och bra noterat!

> Hur får jag fram detta svaret?

(det borde stå "v" och inte "x" i facit)

Direkt av din substitution:

cos(v) = t

cos(v) = 1 || Vi vet att cos(0)=1 och att "cos" är periodisk med en period på 2*PI

v = n * 2 * PI ("n" är en heltal)

> Det förvirrar mig...

Så enkelt. Efter din ersättning "sin^2(v)" -> "1-cos^2(v)" förekommer "v" endast som argument i funktionen cos och den är tyvärr periodisk.

Föraren skrev :

Hur kommer du fram till att $v=\pm 0+n\times 2\pi$? Det förvirrar mig...

Ritar du upp enhetscirkeln och kommer ihåg att x-koordinaten motsvarar cos(v) så kommer du att se att cos(v) = 1 bara uppfylls för v = 0, samt eftersom cos är en jämn funktion även för v=-0. Periodiciteten för cosinus gör att om v är en lösning så är även v+2*n*pi en lösning. Av detta följer i ditt fall v = ±0 + 2*n*pi.

Jag tror jag förstår nu (användning av enhetscirkeln, eller hur?)!

$v=\pm 0+n\times 2\pi$

sista termen ovan är för att det är cosinus. Hade det varit sin(v)=1 så skulle det bli

$v=\frac{\pi }{2}+2\pi n$, visst?

cos: $v=\pm radiander+n(antal varv inom ett intervall)\times 2\pi$ (cos = x-led)

Dock har jag svårt att kunna förklara sinus men tror jag kan räkna på det...

Exempel på sinus-uppgift kan vara $\sin \left(v\right)=1/2$:

$v=\frac{\pi }{6}+2n\pi , v=\frac{5\pi }{6}+2n\pi$

?

Men det kluriga är då att lära sig enhetscirkeln... Finns det ett smidigt sätt att lära sig den på? Vi får inte den på formelsamlingen. 

Föraren skrev :

Men det kluriga är då att lära sig enhetscirkeln... Finns det ett smidigt sätt att lära sig den på? Vi får inte den på formelsamlingen. 

Du behöver inte lära dig alla värden som står angivna i enhetscirkeln.

Det du borde lära dig är istället hur den kan användas i olika sammanhang.

Eftersom sinusvärdet av en vinkel är projektionen av motsvarande punkt på periferin mot den vertikala axeln ser man t.ex. lätt att sin(v) = sin(180° - v) och att sin(-v) = -sin(v)

Eftersom cosinusvärdet av en vinkel är projektionen av motsvarande punkt på periferin mot den horisontella axeln ser man t.ex. lätt att cos(v) = -cos(180° - v) och att cos(-v) = cos(v).

Dessutom ger den direkt sambandet mellan trigonometriska ettan och Pythagoras sats.

Det finns massor av förklarande material på t.ex. YouTube.

Men, hur fungerar då detta:

$\cos \left(v\right)=1/2 \to v=\frac{\pi }{3}+n\times 2\pi , v=-\frac{\pi }{3}+n\times 2\pi$

när det står $\frac{5\pi }{3}$ (på bilden ovan) och inte $\frac{-\pi }{3}$. Hur vet jag att det är samma?

Du vet att ett helt varv är $2 \pi$, eller hur?! Varje gång du går ett varv runt enhetscirkeln, så ökas (eller minskas) vinkeln med $2 \pi$. $5 \pi / 3 - 2 \pi = - \pi / 3$.

Lär dig att snabbt klottra ner enhetscirkeln, sätt ut +1 och -1 på rätt ställen. Lär dig "en halv kvadrat" och "en halv liksidig triangel" så har du snabbt de viktigaste exakta sinus-och cosinusvärdena.

Föraren skrev :

Men, hur fungerar då detta:

$\cos \left(v\right)=1/2 \to v=\frac{\pi }{3}+n\times 2\pi , v=-\frac{\pi }{3}+n\times 2\pi$

när det står $\frac{5\pi }{3}$ (på bilden ovan) och inte $\frac{-\pi }{3}$. Hur vet jag att det är samma?

5pi/3 = -pi/3 + 1*2pi