Trigonometri
Bestäm alla lösningar till ekvationen sin3x=1/2
Jag förstår att lösningen blir pi/18 och 5pi/18
jag förstår inte hur man får fram dem andra 4 lösningar som dem gjorde i boken.
Du har att
3x = pi/6 + n•2pi (dvs en oändlig mångd lösningar)
och
3x = 5pi/6 + n•2pi (dvs en oändlig mångd lösningar)
Det ger dig
x = pi/18 + n•2pi/3
och
x = 5pi/18 + n•2pi/3
Du letar nu efter de lösningar som uppfyller 0 x < 2pi
Om n = 0 så får du lösningarna x = pi/18 och x = 5pi/18. Båda dessa ligger i det tillåtna intervallet.
Om n = 1 så får du lösningarna x = pi/18 + 2pi/3 och x = 5pi/18 + 2pi/3, dvs x = 13pi/18 och x = 17pi/18. Båda dessa ligger i det tillåtna intervallet.
Om n = 2 så får du ... (kan du fortsätta själv?(
Okej nu ser jag det bättre, men vartifrån får du att n kan vara 0,1 eller 2? Förstår inte hur du relaterar det till det givna intervallet
Har n alltid dem värden?
Nej, n har inte alltid dessa värden. De relevanta värdena på n beror helt på om du söker lösningar i ett speciellt intervall eller inte och i så fall i vilket intervall.
n kan vara vilket heltal som helst. Oavsett vilket värde n har så får vi ett x som uppfyller ekvationen.
Om n = -1 så får vi i det här fallet en lösning som är x = pi/18 -2pi/3 = -5pi/18 och en lösning som är x = 5pi/18 - 2pi/3 = -pi/18. Ingen av dessa lösningar ligger i det tillåtna intervallet.
Det gäller även för alla andra värden på n som är mindre än 0.
De enda värden på n som i det här fallet kan ge x-värden i det tillåtna intervallet är alltså n = 0, 1, 2 o.s.v.
Men om du t.ex. skulle leta efter lösningar i intervallet -4pi < x < -pi så skulle det endast vara värden på n som är mindre än 0 som skulle kunna komma i fråga.
