Trigo 3

Fortfrande samma övningen om undersökning:

$b) \sin x = \sin 3 x$

Jag ritade figur, och det funkar nämligen för sin= 0, -1 eller +1.

http://sketchtoy.com/68171978

Jag svarar $0 ° + n * 360, 90 ° + n * 360, 270 ° + n * 360 o c h 360 ° + n * 360$

Facit ger ledtråden $3 x = x + n * 360 e l l e r 3 x = 180 - x + n * 360$ och svar $x = 0 ° + n * 180 o c h x = 45 ° + n * 90$ , som jag är absolut inte med.

$x = \frac{x + n * 360}{3} e l l e r x = \frac{180 - x + n * 360}{3}$ borde ge $x = \frac{x}{3} + n * 120 e l l e r x = 60 - \frac{x}{3} + n * 120$ ? Som svarar inte till ekvation...

Nej, det blir ju

$3 x = x + 360 n \Leftrightarrow 3 x - x = 360 n \Leftrightarrow 2 x = 360 n \Leftrightarrow x = 180 n .$

Samma sak med nästa ekvation men då blir det 3x+x = 4x, sen dividerar du perioden med detta.

Ok så om jag förstår rätt sin kan kan bort-förenklas.

Sin a = sin b blir a = b + n*360?

En till fråga, det är ju $\sin x = \sin 3 x$ . Varför blir det inte $\sin x = \sin 3 x, x = 3 x + n * 360, x - 3 x = n * 360$ ?

Det är ju egentligen så att

arcsin(sin(x)) = x, så det du gör med ekvationen är att

arcsin(sin(x)) = arcsin(sin(3x)) som blir x = 3x + 360n.

Rita upp enhetscirkeln! Du vet att sin x och sin 3x måste vara ett tal mellan -1 och 1, eller hur?! Vilket värde sin x (jag orkar inte skriva ut "eller sin 3 x" fler gånger, det får du tänka själv) än har, så kommer en rät linje y = sin x att skära enhetscirkeln på två ställen, dels vid vinkeln x och dels vid vinkeln 180-x. Dessutom kommer sin x att ha samma värde om du lägger till valfritt antal hela varv.

Man brukar inte orka skriva ut perioden "+ n*360" på båda sidor om det inte behövs (och det gör det inte här). Man skriver med perioden så fort den behövs, d v s så ort man använder arc sin.

Rita upp enhetscirkeln dels med dina svar och dels mad svaren från facit och fundera på för vilka vinklar det stämmer att sin x = sin 3x.

smaragdalena skrev :
Rita upp enhetscirkeln! Du vet att sin x och sin 3x måste vara ett tal mellan -1 och 1, eller hur?! Vilket värde sin x (jag orkar inte skriva ut "eller sin 3 x" fler gånger, det får du tänka själv) än har, så kommer en rät linje y = sin x att skära enhetscirkeln på två ställen, dels vid vinkeln x och dels vid vinkeln 180-x. Dessutom kommer sin x att ha samma värde om du lägger till valfritt antal hela varv.
Man brukar inte orka skriva ut perioden "+ n*360" på båda sidor om det inte behövs (och det gör det inte här). Man skriver med perioden så fort den behövs, d v s så ort man använder arc sin.
Rita upp enhetscirkeln dels med dina svar och dels mad svaren från facit och fundera på för vilka vinklar det stämmer att sin x = sin 3x.

Det är precis sådär jag tänkte (och ritade) och kom fram till att det bara kan vara 0, -1 eller +1.

Daja skrev :

En till fråga, det är ju $\sin x = \sin 3 x$ . Varför blir det inte $\sin x = \sin 3 x, x = 3 x + n * 360, x - 3 x = n * 360$ ?

Jodå, det går, då får du $x - 3 x = n \cdot 360 - 2 x = n \cdot 360 x = - n \cdot 180 x = n \cdot 180$ d v s $x = 0 ° + n \cdot 180 °$

Sorry jag är fortfarande inte med, jag hittar kanske första lösning men inte den andra.

Om man kör arcsin på båda sidor får man: $x = 3 x + 360 n \Rightarrow - 2 x = 360 n s o m ä r l i k a m e d x = - 180 n$ , och eftersom det spelar inga roll i vilka riktning den halv camembert roterar x=-180n=180n, eller hur?

Men den andra lösning dvs x=45 + 90n kommer jag inte fram till.

För den andra lösningen utnyttjar du att det finns en lösning på andra sidan av enhetscirkeln också. Det är inte bara vinkeln v som har sinus-värdet sin v, utan även vinkeln 180-v (+ n*360, förstås). Kommer du vidare härifrån? Du skall alltså lösa ekvationen 3x = 180 - x + n*360.

smaragdalena skrev :
För den andra lösningen utnyttjar du att det finns en lösning på andra sidan av enhetscirkeln också. Det är inte bara vinkeln v som har sinus-värdet sin v, utan även vinkeln 180-v (+ n*360, förstås). Kommer du vidare härifrån? Du skall alltså lösa ekvationen 3x = 180 - x + n*360.

Nej, jag har inte tänkt på det (såklart)!

Isf blir det :

$x = \frac{180 + 360 n}{4} = 45 + 90 n$

Jag blir fortfarande förbryllad att ni flyttar sin(x) och sin(3x) på båda sidor utan att det blir problem :)

Vi kanske skall lägga till en rad:

$\sin x = \sin 3 x a r c \sin (\sin x) = a r c \sin (\sin 3 x) \sin 3 x = \sin x + n \cdot 360 e l l e r \sin 3 x = 180 - x + n \cdot 360$ sedan forteätter du som tidigare

Tack till båda, det var jätte talamodigt förklarat!

Svara

Visa senaste svar