Trianglars antal lösningar
Triangel ABC kan ju ha 0,1 eller 2 olika lösningar beroende på hur två av de motstående sidorna förhåller sig till höjden. Detta kan ju i sin tur kopplas till sinussatsen som bara ger ett fall men som man aktivt måste beräkna det andra fallet av för att få fram (efter att man använt sinussatsen). Hur många lösningar en triangel har handlar det om hur många trianglar som kan ha vinkel A?
Tack på förhand
Vad menar du mer att en triangel har en lösning?
Jag förstår inte vad du frågar, men det kanske hjälper att se på de olika fallen man kan ha som bestämmer en triangel:
alla sidor givna: då är alla vinklar entydiga, och det finns antingen en sådan triangel, eller ingen alls
alla vinklar givna, med summan 180 grader: då finns det oändligt många trianglar
två sidor givna och mellanliggande vinkel: då finns det en lösning
två vinklar givna, med summan mindre än 180 grader, och en sida, och man vet vilken vinkel som är mittemot sidan: det finns en lösning
Det krångliga fallet får du ta hand om själv (samt att se om jag skrev allting rätt ovan):
två sidor givna och en icke mellanliggande vinkel
Antalet lösningar för en triangel där man vet sidorna a och b och vinkel A.
Tack på förhand
852sol skrev:Antalet lösningar för en triangel där man vet sidorna a och b och vinkel A.
Tack på förhand
Som du skrev först finns det 0, 1 eller 2 lösningar. Vad är frågan?
Jag förstår inte riktigt sambandet mellan det och cosinussatsen och sinussatsen.
Tack på förhand
852sol skrev:Jag förstår inte riktigt sambandet mellan det och cosinussatsen och sinussatsen.
Tack på förhand
Rita upp problemet och visa hur du löser det, eller var det uppstår svårigheter.
Det är dock mer av en allmän fråga. Jag menar cosinussatsen kommer ge två lösningar medan sinussatsen bara ger en lösning. Med andra ord i trianglar där vi vet 2 sidor bredvid varandra och vinkeln bredvid en av dessa sidor kan vi alltså få 0,1 eller 2 lösningar. Men om sinussatsen används måste vi på alla de vinklar vi får ta 180-v och räkna ut det andra fallet medan vi med cosinussatsen direkt får båda lösningarna?
Tack på förhand
852sol skrev:Det är dock mer av en allmän fråga. Jag menar cosinussatsen kommer ge två lösningar medan sinussatsen bara ger en lösning. Med andra ord i trianglar där vi vet 2 sidor bredvid varandra och vinkeln bredvid en av dessa sidor kan vi alltså få 0,1 eller 2 lösningar. Men om sinussatsen används måste vi på alla de vinklar vi får ta 180-v och räkna ut det andra fallet medan vi med cosinussatsen direkt får båda lösningarna?
Tack på förhand
Om sin(A)/a gäller för A=x så gäller det också för x = 180-x. Jag vet inte hur du menar att sinussatsen och cosinussatsen skiljer sig åt i det avseendet.
Jag tänker att om vi ska beräkna en vinkel i en triangel och det finns två möjliga svar på detta då kommer vi genom cosinussatsen direkt få ut två svar medan vi (om vi använder sinussatsen) måste ta 180-v v=det svaret vi fick ut med sinussatsen. Men jag förstår inte riktigt hur man ska veta om det finns en eller flera lösningar.
Tack på förhand
Men en triangel kan väl bara ha två lösningar om det vi vet är 2 sidor och en motstående vinkel. Så på så sätt kan man avgöra om en triangel har flera lösningar?
Tack på förhand
852sol skrev:Men en triangel kan väl bara ha två lösningar om det vi vet är 2 sidor och en motstående vinkel. Så på så sätt kan man avgöra om en triangel har flera lösningar?
Tack på förhand
Rita!
Jag tänkte mer att det är en allmän regel att antalet lösningar för en triangel varierar enbart då vi vet två sidor och en motstående vinkel. Det är då triangeln antingen har 0,1 eller 2 lösningar. Om vi enbart vet exempelvis alla sidor då kan triangeln enbart ha 0 eller 1 lösning. Om vi vet alla vinklar kan triangeln ha oändligt många lösningar.
Tack på förhand
Jag förstår inte riktigt vad du menar med "två sidor och en motstående vinkel". Motstående vad?
Med beteckningar enligt figuren, om du känner till sidlängderna a och b, vilken vinkel är då motstående? A, B eller C?
Jag tänkte om man exempelvis vet a, b och B. Men är det så att vi får alla lösningar när vi använder cosinussatsen och areasatsen men enbart en lösning då vi använder sinussatsen?
Tack på förhand
Kan du illustrera det du ej förstår med en bild? En triangel? Därefter kan man nog lättare förstå vad det är du ej förstår. Som det ser ut nu så beskriver du det du undrar på ett väldigt obegripligt sätt.
I exempelvis denna uppgift:
I triangeln ABC har AB längden 25 cm och AC 18 cm. Triangelns area är 175 cm2. Beräkna vinkeln A.
Denna fråga har två lösningar. Men hur ska man veta att den har det?
Tack på förhand
Eftersom man har en area är det vettigt att använda areasatsen. Visa hur du läser uppgiften, så kan vi hjälpa dig om du kör fast.
Här kan du tillämpa areasatsen och efter lite beräkning få att den eftersökta vinkeln blir antingen eller som i ditt fall blir: . Du får två vinklar eftersom 51 grader som ligger i kvadrant 1 och 129 grader som ligger i kvadrant 2 har sinusvärdet 0,77. Förstår du hur man avläser sinusvärdena i en enhetscirkel? Tänk dig ett koordinatsystem med x-axel och y-axel men i enhetscirkeln ligger alla sinusvärden på y-axeln.
Okej, så om man ska avgöra i en uppgift om det finns två lösningar får man titta på sinv och cosv. För jag trodde man skulle använda detta på något sätt:
Tack på förhand
852sol skrev:Jag tänkte om man exempelvis vet a, b och B. Men är det så att vi får alla lösningar när vi använder cosinussatsen och areasatsen men enbart en lösning då vi använder sinussatsen?
Tack på förhand
Du har själv givit ett bra exempel i ditt senaste svar:
Tänk dig att vi känner till storleken på a, b och A.
Sinussatsen ger oss att sin(B)/b = sin(A)/a, dvs sin(B) = b*sin(A)/a.
Denna ekvation har de två lösningarna B1 och B2, där B2=180° - B1.
Så sinussatsen kan ge oss två lösningar.
Men finns det någon allmän regel för detta som gör att när man räknar med areasatsen, sinussatsen och cosniussatsen kan man avgöra hur många lösningar som bör finnas?
Tack på förhand
Men finns det någon allmän regel för detta som gör att när man räknar med areasatsen, sinussatsen och cosniussatsen kan man avgöra hur många lösningar som bör finnas?
Nej, man måste tänka själv. Det är lämpligt att rita.
Okej, men kan jag tänka på följande sätt med de olika satserna?:
Areasatsen: finns det två värden för sinv i vårt intervall då finns det två lösningar.
Sinussatsen: Om jag vet en vinkel (V1) och med hjälp av sinussatsen beräknar den andra (V2) kan jag eventuellt få fram ett andra fall om (180-V2+V1 är mindre än 180).
Cosinussatsen: då kommer alla möjliga sträckor och vinklar att automatiskt fås fram med formeln?
Tack på förhand
Helt generellt: ställ upp ekvationerna, hitta alla lösningar till dem, verifiera att alla hittade lösningar verkligen är lösningar till problemet (och inte negativa sträckor eller nåt sånt).
Du måste ändå lösa ekvationerna, det är inte så användbart att veta i förväg hur många lösningar det finns.
Men jag förstår i allmänhet inte hur jag ser om lösningen finns eller inte. En sak man kan göra är ju att kolla om vinkelsumman av den nya vinkeln och den vi vet sen tidigare blir över 180 (om den blir det finns inte lösningen). Man kan ju även studera om den nya vinkeln vi ska beräkna kan vara trubbig eller inte (om den inte står mot den längsta sidan kan den inte vara trubbig) och står den mot en kortare sida måste den vara spetsig. Man vet även att om vi i triangeln vet VVV VSV eller SVS så finns bara en lösning. Men jag förstår inte riktigt heller hur man använder sig av de förhållanden med a och b som jag visade i mitt tidigare svar.
Tack på förhand
Det är inte lönt att du försöker hitta regler för när det blir si-eller-så, för det är lättare att lösa själva uppgiften.
Okej, så man får bara försöka analysera varje enskilt fall. Men när man vet två sidor en motstående vinkel har man de tidigare förhållandena (från tidigare i tråden) till hjälp?
Tack på förhand
Vad menar du med "två sidor en motstående vinkel"? Motstående till vilken av sidorna?
Till 852sol: motstående betyder "mitt emot".
Titta på bilden i detta svar.
Med de beteckningarna så är
- vinkeln vid A motstående sidan a och vice versa.
- vinkeln vid B motstående sidan b och vice versa.
- vinkeln vid C motstående sidan c och vice versa.
Om du också använder det språkbruket så blir det lättare för oss att förstå dig och då behöver vi inte ödsla bäde din och vår tid på att fråga vad du menar.
