Triangelolikheten för integraler
Hej!
Jag skulle behöva hjälp med att förstå den sista övre uppskattningen i följande olikhet:
Här är theta ett tal mellan 0 och 1, precis som för Lagranges restterm i Taylorutvecklingar.
Jag kan se att författarna satt in theta=1, och x^2 = 1/2 (för exponenten till e) men jag förstår inte varför detta är så självklart och varför man kan göra såhär.
Tacksam om någon kunnat förklara det! :)
I intervallet 0 ≤ x ≤ 1/2 är x som störst när x = 1/2 dvs x2 är högst 1/4.
theta*x2 är högst 1*1/4
e^(theta*x2) är högst e1/4
dvs integranden i mittenledet är ≤ (1/6)x5 e1/4
Var det svar på frågan?
Tack så mycket för ditt svar!
Vad hade hänt om man ersatt x med 1/2 för x^5 också? Hade hela den integralen fortfarande varit större än den mellersta?
Jag tror att det som förvirrade mig är att man bara ersatte x med 1/2 för exponenten.
julias skrev:Tack så mycket för ditt svar!
Vad hade hänt om man ersatt x med 1/2 för x^5 också? Hade hela den integralen fortfarande varit större än den mellersta?SVAR: Integralen av x5 från 0 till 1/2 är (1/2)6/6 – 0 = (1/64)/6.
(1/2)5 = 1/32 och integralen om du integrerar 1/32 från 0 till 1/2 är 1/64.
så högraste ledet skulle ha blivit sex gånger så stort om du ersatt x med 1/2 i sista integralen. Dvs olikheten hade fortfarande gällt men uppskattningen skulle ha varit grövre. Vanligen vill man göra så snäva uppskattningar som möjligt, det ger mer information.
Det är inte Fel att approximera pi med 1000 ± 2000, men approximationen är normalt värdelös.
Tack återigen för ditt svar! :)
