Triangelns maximala area?

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Du tänker rätt. 

Börja med att i figuren ange vad du menar med "a".

Du kan då ta fram ett uttryck för triangelns höjd h. Detta uttryck beror av a.

Triangelns area är sedan det välkända A = b•h/2.

Det betyder att även arean A kommer att bero av a.

Det är detta uttryck du sedan ska maximera. 

med "a" menar jag avståndet mellan triangeln och (0,0). Men förstår inte hur man kan ta fram ett uttryck för höjden.

Yngve skrev:

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Du tänker rätt. 

Börja med att i figuren ange vad du menar med "a".

Du kan då ta fram ett uttryck för triangelns höjd h. Detta uttryck beror av a.

Triangelns area är sedan det välkända A = b•h/2.

Det betyder att även arean A kommer att bero av a.

Det är detta uttryck du sedan ska maximera. 

Har räknat på det en stund men svaret känns inte rimligt

svenne1122 skrev:

Yngve skrev:

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Du tänker rätt. 

Börja med att i figuren ange vad du menar med "a".

Du kan då ta fram ett uttryck för triangelns höjd h. Detta uttryck beror av a.

Triangelns area är sedan det välkända A = b•h/2.

Det betyder att även arean A kommer att bero av a.

Det är detta uttryck du sedan ska maximera. 

Har räknat på det en stund men svaret känns inte rimligt

Ditt uttryck för A ser ut att stämma, men derivatan ser konstig ut.

Smaragdalena skrev:

svenne1122 skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Du tänker rätt. 

Börja med att i figuren ange vad du menar med "a".

Du kan då ta fram ett uttryck för triangelns höjd h. Detta uttryck beror av a.

Triangelns area är sedan det välkända A = b•h/2.

Det betyder att även arean A kommer att bero av a.

Det är detta uttryck du sedan ska maximera. 

Har räknat på det en stund men svaret känns inte rimligt

Ditt uttryck för A ser ut att stämma, men derivatan ser konstig ut.

Är det deriveringen på 4a-4a^2+a^3/2 som är fel?

svenne1122 skrev:

Är det deriveringen på 4a-4a^2+a^3/2 som är fel?

Ja, den övre raden i bilden stämmer, men inte den undre.

Försök att hitta felet själv, fråga oss om du inte hittar det.

är detta rätt?

Nej det stämmer inte heller.

Det verkar vara nämnaren 2 som ställer till det för dig.

Gör så här så får du nog rätt på detivatan:

$A(a)=\frac{4a-4a^2+a^3}{2}$

Dela upp på separata bråkstreck:

$A(a)=\frac{4a}{2}-\frac{4a^2}{2}+\frac{a^3}{2}$

Förenkla:

$A(a)=2a-2a^2+\frac{a^3}{2}$

Derivera nu och visa vad du då får.

Yngve skrev:

Nej det stämmer inte heller.

Det verkar vara nämnaren 2 som ställer till det för dig.

Gör så här så får du nog rätt på detivatan:

$A(a)=\frac{4a-4a^2+a^3}{2}$

Dela upp på separata bråkstreck:

$A(a)=\frac{4a}{2}-\frac{4a^2}{2}+\frac{a^3}{2}$

Förenkla:

$A(a)=2a-2a^2+\frac{a^3}{2}$

Derivera nu och visa vad du då får.

Såhär va?

svenne1122 skrev:

Yngve skrev:

Nej det stämmer inte heller.

Det verkar vara nämnaren 2 som ställer till det för dig.

Gör så här så får du nog rätt på detivatan:

$A(a)=\frac{4a-4a^2+a^3}{2}$

Dela upp på separata bråkstreck:

$A(a)=\frac{4a}{2}-\frac{4a^2}{2}+\frac{a^3}{2}$

Förenkla:

$A(a)=2a-2a^2+\frac{a^3}{2}$

Derivera nu och visa vad du då får.

Såhär va?

Blev fel va? A'(a)=2-4a+3/2*a^2 blir rätt?

svenne1122 skrev:

Blev fel va? A'(a)=2-4a+3/2*a^2 blir rätt?

Ja, om du menar att sista termen är 3a²/2 så är det rätt.

Yngve skrev:

svenne1122 skrev:

Blev fel va? A'(a)=2-4a+3/2*a^2 blir rätt?

Ja, om du menar att sista termen är 3a²/2 så är det rätt.

ja, gör jag sen som jag gjort på tidigare försök o löser ut vad a är genom pq formel? För att sen använda andra derivatan?

Ja, det kan du göra.

Lös A'(a) = 0 för att hitta de stationära punkterna.

Förkasta alla som inte ligger i definitionsmängden.

Kontrollera med A''(a) att den kvarvarande är en maximipunkt.

Yngve skrev:

Ja, det kan du göra.

Lös A'(a) = 0 för att hitta de stationära punkterna.

Förkasta alla som inte ligger i definitionsmängden.

Kontrollera med A''(a) att den kvarvarande är en maximipunkt.

Såhär?

svenne1122 skrev:

Yngve skrev:

Ja, det kan du göra.

Lös A'(a) = 0 för att hitta de stationära punkterna.

Förkasta alla som inte ligger i definitionsmängden.

Kontrollera med A''(a) att den kvarvarande är en maximipunkt.

Såhär?

Är det något av dina värde som är användbart?

Tillägg: 3 mar 2023 16:03

Bra att Yngve hittade det som jag missade!

Smaragdalena skrev:

svenne1122 skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

Ja, det kan du göra.

Lös A'(a) = 0 för att hitta de stationära punkterna.

Förkasta alla som inte ligger i definitionsmängden.

Kontrollera med A''(a) att den kvarvarande är en maximipunkt.

Såhär?

Är det något av dina värde som är användbart?

3-roten ur6. Då det är en maximipunkt va?

svenne1122 skrev:

Såhär?

Nej det stämmer inte.

Kan du berätta hur du gick från näst sista till sista raden i den här bilden?

Yngve skrev:

svenne1122 skrev:

Såhär?

Nej det stämmer inte.

Kan du berätta hur du gick från näst sista till sista raden i den här bilden?

Multiplicera alla tal med 3/2

Om du multiplicerar hela ekvationen med 3/2 så blir den sista termen $\frac{3a^2}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{9a^2}{4}$, eller hur?

Du vill troligtvis multiplicera allt med 2/3 istället.

Yngve skrev:

Om du multiplicerar hela ekvationen med 3/2 så blir den sista termen $\frac{3a^2}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{9a^2}{4}$, eller hur?

Du vill troligtvis multiplicera allt med 2/3 istället.

Stämmer, då blir det såhär?

Ja nu ser det bra ut.

Då kan du gå vidare och lösa ekvationen A'(a) = 0.

Yngve skrev:

Ja nu ser det bra ut.

Då kan du gå vidare och lösa ekvationen A'(a) = 0.

Såhär?

Ja de nollställena stämmer.

Är båda värdena relevanta för problemet?

Yngve skrev:

Ja de nollställena stämmer.

Är båda värdena relevanta för problemet?

Nej det är dom inte då en av dom är en minimipunkt. Använder maximipuntken för o ta fram A

Egentligen så ingår inte a = 2 i definitionsmängden. Ser du varför?

Men a = 2/3 ger mycket riktigt en maximipunkt och du har ställt upp uttrycket för arean korrekt.

Nu ska du förenkla det så långt det går och svara med ett exakt värde.

Yngve skrev:

Egentligen så ingår inte a = 2 i definitionsmängden. Ser du varför?

Men a = 2/3 ger mycket riktigt en maximipunkt och du har ställt upp uttrycket för arean korrekt.

Nu ska du förenkla det så långt det går och svara med ett exakt värde.

Ser inte varför. Men beror det på att funktionen inte har en minimipunkt? Men 16/27 blir svaret?

Kan du rita den triangel man får om a = 2?

Smaragdalena skrev:

Kan du rita den triangel man får om a = 2?

tror jag hänger med då, då blir väll basen och höjden noll, med tanke på att b=2-a och h=2a-a^2.

svenne1122 skrev:

tror jag hänger med då, då blir väll basen och höjden noll, med tanke på att b=2-a och h=2a-a^2.

Ja det stämmer.

För att det överhuvud taget ska bli en triangel måste 0 < a < 2, så 2 ligger utanför definitionsmängden.

Och 16/27 är rätt svar. Bra!

Yngve skrev:

svenne1122 skrev:

tror jag hänger med då, då blir väll basen och höjden noll, med tanke på att b=2-a och h=2a-a^2.

Ja det stämmer.

För att det överhuvud taget ska bli en triangel måste 0 < a < 2, så 2 ligger utanför definitionsmängden.

Och 16/27 är rätt svar. Bra!

Tack så mycket för hjälpen!!!