Triangel maximal area
Hej,
"I den rätvinkliga triangeln ABC är kateternas sammanlagda längd = a längdenheter.
Visa med hjälp av derivata att triangeln har största möjliga area då kateterna är lika långa och bestäm den maximala arean"
Har kommit så långt att jag ritat en rätvinklig triangel på ett papper och skrivit att arean = (AB)/2
2 samband som kan vara till hjälp i detta problem är
- Summan av kateterna är a
- Pythagoras sats
Använder du dessa 2 kan du skriva triangelns area som en funktion av endast en variabel. Därefter maximerar du denna på vanligt sätt.
EDIT: Du behöver inte pythagoras sats eftersom att den första relationen redan ger ett samband mellan kateterna. Hade du istället haft att "summan av triangelns sidor är a" hade du behövt ytterligare en relation (förslagsvis pythagoras) för att lösa ut en variabel.
För att visa med derivata att arean blir störst när kateterna är lika långa, börjar du med att uttrycka arean som en funktion av längden på den ena kateten. Eftersom den andra katetens längd är den totala längden minus den första katetens längd, kan du formulera en funktion som beskriver arean beroende på den första katetens längd.
Nästa steg är att derivera den här funktionen för att hitta det värde på katetlängden som maximerar arean. Du sätter derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter, vilket ger dig den längd på kateterna som maximerar arean. När du löser detta ser du att kateterna ska vara lika långa för att arean ska bli störst.
Slutligen kan du kontrollera att det verkligen är en maximipunkt genom att undersöka den andra derivatan. Om den är negativ visar det att det är en maximipunkt, vilket bekräftar att arean är som störst när kateterna är lika långa.
Tack!
Men jag klarar inte av att formulera den funktionen.
Jag får Area = ((a-A)(a-(a-A)) /2
Eftersom
A+B = a
B = a-A
Och då är A = a - (a-A)
Ser bra ut. Kom ihåg att du vill behålla antingen A eller B i uttrycket då dessa inte är fast bestämda.
Tillägg: 20 okt 2024 14:12
Alltså kan du skriva a-(a-A) som A helt enkelt.
Skriver man derivatans funktion som: (1-2A)/2?
Vad får du om du deriverar (a-A)A/2?
Jag kan inte göra det.
Jag får (Aa-2A)/2
Jag säger 0.5 - A
Du ska derivera m.a.p. A
- Vad är derivatan av aA?
- Vad är derivatan av A^2?
- Vad blir då derivatan av aA-A^2?
- Vad blir då derivatan av (a-A)A/2?
a
2A
a-2A
0.5a - A
?
0.5a -A = 0
A = 0.5a
Sedan då igen
a = 0.5a-B
B= a-A
B = a - 0.5a
B = 0.5a
Tror andraderivatan blir = -0.5
Så det är en maximipunkt
