Tredjegradspolynom

Slinken skrev:

 Hej!

Jag har en fråga angående tredjegradspolynomer. Har tredjegradspolynomer alltid 3 nollställen eller kan det variera? skulle bli superglad av några exempel också!

Tack på förhand. 

 Det finns tredjegradspolynom som bara har 1 nollställe.
$x^{3}+1$

Tredjegradspolynom har minst ett reellt nollställe. Inser du varför? Det kan ha upp till tre reella nollställen.

det har alltid tre nollställen om man tillåter komplexa tal. (En dubbelrot räknas som två nollställen)

Ett tredjegradspolynom har "i teorin" alltid tre nollställen. Däremot är det dels inte säkert att alla är reella, det vill säga vissa av  nollställena kan vara komplexa, det som händer när man får ett negativt tal under rottecknet när man ska lösa ut nollställena. Det kan också finnas vissa nollställen som är dubbla, det vill säga är samma och inte unika.

Så i praktiken finns det inte alltid tre olika nollställen, alltså ställen där grafen/funktionen skär x-axeln.

Ett enkelt exempel kan vara det enklaste tredjegradspolynomet $x^3$. Sätt $x^3=x·x·x=0$

Vi kan se att för att detta ska vara noll så ska x= eller x=0 eller x=0. Alltså tre nollställen, men alla är samma.

$Alltså lösningar x_1=0 x_2= 0 och x_3=0$ men där det blir överflödigt att ange alla då de är samma

Ta $x^3+16x$ som är ett tredjegradspolynom. Sätt lika med 0

 $$\begin{gathered} x^3+16x=0 \\ x(x^2+16)=0 \end{gathered}$$

Vi kan se att ett nollställe ges enkelt av att x=0

Men $$\begin{gathered} x^2+16=0 kan också ge nollställen \\ {x}^2= -16 \\ x=\pm \sqrt{-16} \end{gathered}$$

Vi kan se att de andra två ges av 

$$\begin{gathered} x_2=\sqrt{-16} \\ {x}_3=-\sqrt{-16} \end{gathered}$$

Detta är dock inga vanliga reella tal eftersom det inte går att dra roten ur negativa tallö utan om du har arbetat med komplexa tal så blir dessa

$$\begin{gathered} x_2=4i \\ {x}_3=-4i \end{gathered}$$

och sen tidigare $x_1=0$

Alltså finns tre nollställen, men bara ett är reellt som oftast är det som menas med nollställen. Ritar du grafen så kommer den bara skära x-axeln en gång

tack så mycket!!!