Tredjegradsfunktion lösningar

Ja det stämmer. En tredjegradsekvation har minst en reell rot, förutsatt att $a\ne 0$. Detta händer eftersom

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-\infty & ,om\_a>0\\ +\infty & ,om\_a<0\end{array}\right. \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}+\infty & ,om\_a>0\\ -\infty & ,om\_a<0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Det följer sedan av funktionens kontinuitet och medelvärdesatsen att $f$ har minst ett nollställe.

Ojdå, och vad är medelvärdesatsen?

Jag har googlat upp den men det är lite ofattatbart :/

Daja skrev :

Ojdå, och vad är medelvärdesatsen?

Jag har googlat upp den men det är lite ofattatbart :/

Lugn.Du behöver inte känna till den.

Det är helt klart överkurs i Matte 3

Men jag vill jättegärna veta vad det är, typ :). Även om jag fattar inte beviset.

Hmm jag har precis googlat det på min språk (och det är precis lika ofattatbart).. jag tror att jag kommer att behöva gå på läxhjälp för den.

(Men iaf det ståd en illustration ''om en bil kör med medelfart av 60km på sträckan AB, har speedmeter nångång visat 60km/h'')

Daja skrev :

Hmm jag har precis googlat det på min språk (och det är precis lika ofattatbart).. jag tror att jag kommer att behöva gå på läxhjälp för den.

 

(Men iaf det ståd en illustration ''om en bil kör med medelfart av 60km på sträckan AB, har speedmeter nångång visat 60km/h'')

Medelvärdessatsen för derivator säger, förenklat, att det finns en punkt sådan att derivatan i just den punkten har samma värde som medelvärdet för hela intervallet.

D.v.s. att $f\text{'}\left(n\right) = \frac{f\left(b\right) - f\left(a\right)}{b - a}$, där b och a är ändpunkter i intervallet och n är just den punkten där detta sker. (Som sagt förenklat, men eftersom det troligtvis är överkurs utelämnar jag detaljerna).

Edit: Jag googlade upp en bild lite snabbt för att göra det lättare. Den ljusblå linjen är medelvärdet för intervallet. Den gröna linjen är tangenten i just den punkten då detta gäller. (Tangenten visar lutningen, och som du ser i bilden så har den gröna linjen samma lutning som den ljusblå.)

Tar man inte bara andraderivatan? Och sedan lägger in xet i ursprungsformeln och sedan kollar om den är positiv eller negativ?

Men medelvärdessatsen har inte med frågan att göra. Den sats Lirim syftade på var satsen om mellanliggande värde. En kontinuerlig funktion antar alla mellanliggande värden.

Jag började att misstänka det efter ett tag ...men det är alltid coolt att lära sig lite avancerade saker :).

Man kan säga mycket mer om "Bestämma om tredjegradsfunktion f(x) ax^3+bx^2+cx+d har alltid en nollställe." ??

För om vi antar att a,b,c och d är reella koefficienter med $a \backslash ne 0$  så kan man efter division med a erhålla

en ekvation på formen  f(x) = x^3+ b_1 x^2 + c_1 x + d_1 = 0  som har en graf med en symmetripunkt

mitt emellan maximat och minimat (om grafen har två pucklar ( och det har den om andra derivatan byter tecken i en punkt))  jämför med andragradsekvationen bx^2+cx+d = 0  som är en parabel och som har en vertikal

symmetrilinje mitt emellan dess reella rötter  r_1,r_2 ( om rötterna är reella)  eller Vid dess realdel    x = r_{1,2}

där de komplexa rötterna ges av  x = r_{1,2}   +/-   s \cd  i    där s är ett reellt rotuttryck  av några av de reella koeff.

 reella koeff.   a,b,c och d.  Motsvarande men lite mer komplicerade uttryck kan ges av de reella koefficienterna a,b,c och d.