tredjegradsfunktion

Vad är den geometriska betydelsen av derivata? Tangentens lutning i en viss punkt på kurvan. Så, vart är lutningen noll? På toppen av berget och på botten av dalen eller hur? Vad kan du dra för slutsats av detta?

nu när jag gör om den får jag att f'(x)= 0 är 1

f'(x)<0 är -1>x>(sträck under)1

och f''(x)>0 är 2x 

kan något av ovan stämma?

dock vet jag ej vad den geometriksa betydelsen för derivata är..

Var på grafen är det

uppförsbacke? 

nerförsbacke? 

platt? 

elevensombehöverhjälp skrev :

nu när jag gör om den får jag att f'(x)= 0 är 1

f'(x)<0 är -1>x>(sträck under)1

och f''(x)>0 är 2x 

kan något av ovan stämma?

är ovan inte rätt? har tänkt på samma vis som dr. G sa 

elevensombehöverhjälp skrev :

elevensombehöverhjälp skrev :

nu när jag gör om den får jag att f'(x)= 0 är 1

f'(x)<0 är -1>x>(sträck under)1

och f''(x)>0 är 2x 

kan något av ovan stämma?

är ovan inte rätt? har tänkt på samma vis som dr. G sa 

Svårt att avgöra utan bild (och svårt att förstå vad du menar med sträck, antar att du menar $\ge$)

smaragdalena skrev :

elevensombehöverhjälp skrev :

Visa föregående citat

elevensombehöverhjälp skrev :

nu när jag gör om den får jag att f'(x)= 0 är 1

f'(x)<0 är -1>x>(sträck under)1

och f''(x)>0 är 2x 

kan något av ovan stämma?

är ovan inte rätt? har tänkt på samma vis som dr. G sa 

Svårt att avgöra utan bild (och svårt att förstå vad du menar med sträck, antar att du menar $\ge$)

Den försvann, hade bigogat den innan, och ja, jag menar just det tecknet :)

Då har du att f'(x) > 0 om x < 1 eller x > 5.

I intervallet 1 < x < 5 är f'(x) negativt.

Andraderivatan f''(x) har formen f''(x) = kx + m men det är svårt att få fram den bara genom att titta på grafen.

Om vi sammanställer allt för att det ska bli tydligare: 

f'(x) <0 = om    1 < x <5 

f'(x)=0

 f''(x)>0

Det blir inte tydligare på det sättet, det blir fel. f'(x) = 0 endast när x = 1 och när x = 5.

Derivatan är negativ när 1 < x < 5. Derivatan är påositiv när x < 1 och när x > 5.

Andraderivatan är ointressant.

så då det står att jag ska ange för vilket värde på x som f'(x)=0 svarar jag endast där x=1 och x=5 

och om jag ska ange för vilket värde på x som f'(x)<0 svarar jag 1 < x < 5.

och om jag ska ange vilket värde på x som f''(x)>0  vad svarar jag då?

Har du inte fått något uttryck för tredjegradsfunktionen?

smaragdalena skrev :

Har du inte fått något uttryck för tredjegradsfunktionen?

vad menar du nu? det finns väll bara f' och f'' det är väll inte en tredjegradsfunktion? eller jag är säkert helt fel

Det står i uppgiften att det är en tredjegradsfunktion. Alla tredjegradsekvationer kan skrivas som $f\left(x\right) = a{x}^3 + b{x}^2 + cx + d$. Förstaderivatan kan skriva som $f'(x) = 3ax^2 + bx + c$ och andraderivatan kan skrivas som $f''(x) = 6ax + b$. Man kan se av din kurva att c = 10 och att a är positiv. Det går att få fram a och b genom att äsa av värden i grafen och klura en stund, men det är enklare om man har en färdig funktion.

elevensombehöverhjälp skrev :

så då det står att jag ska ange för vilket värde på x som f'(x)=0 svarar jag endast där x=1 och x=5 

och om jag ska ange för vilket värde på x som f'(x)<0 svarar jag 1 < x < 5.

och om jag ska ange vilket värde på x som f''(x)>0  vad svarar jag då?

De fetmarkerade ovan är väll rätt svar om de frågar på det sättet eller hur? för att kunna ha de överklarade innan man hoppar över till den sista, vet du..

Ja, det fetmarkerade är rätt.

smaragdalena skrev :

Ja, det fetmarkerade är rätt.

okej om jag använder det du sa innan: $f\left(x\right) = a{x}^3 + b{x}^2 + cx + d$

c=10

och sen?

f" beror på hur kurvan kröker. Ledsen mun: f"<0, glad mun: f">0.

Henrik Eriksson skrev :

f" beror på hur kurvan kröker. Ledsen mun: f"<0, glad mun: f">0.

vilken pratar du om nu?? f''(x)>0

vet fortfarande inte hur jag ska lösa den om frågan är formullerad enligt:   ange vilket värde på x som f''(x)>0  

ange vilket värde på x som f''(x)>0  är svaret på den  x < 1 och  x > 5. alltså 1>x>5 

 

är det rätt svar??

elevensombehöverhjälp skrev :

ange vilket värde på x som f''(x)>0  är svaret på den  x < 1 och  x > 5. alltså 1>x>5 

 

är det rätt svar??

Hej!

kan någon vara snäll och kolla om jag gjort rätt ovan?

Nej det är inte rätt.

f(x) är en tredjegradsfunktion.

Alltså är förstaderivatan f'(x) en andragradsfunktion och andraderivatan f''(x) är en förstagradsfunktion (linjär funktion).

Eftersom vi vet att förstaderivatan f'(x) har nollställen vid x = 1 och x = 5 så har f'(x) en symmetrilinje mitt emellan nollställena, dvs vid x = 3. Det betyder att förstaderivatan har en min- eller maxpunkt vid x = 3.

Eftersom f'(x) > 0 för x < 1 och f'(x) < 0 för x > 5 så är andragradsfunktionen f'(x) en "glad mun", dvs koefficienten framför x^2-termen är positiv. Det betyder att förstaderivatans har en minpunkt vid x = 3.

Då är andraderivatan alltså negativ till "vänster" om symmetrilinjen och positiv till "höger" om symmetrilinjen.

Vad blir då svaret?

Frågan är nu var f''(x) > 0, dvs var 6ax + 2b > 0.

 

Eftersom vi vet att f'(x) har nollställen vid x = 1 och x = 5 så har f'(x) en symmetrilinje mitt emellan nollställena, dvs vid x = 3. Det betyder att förstaderivatan har en min- eller maxpunkt vid x = 3.

Eftersom f'(x) > 0 för x < 1 och f'(x) < 0 för x > 5 så är andragradsfunktionen f'(x) en "glad mun", dvs koefficienten framför x^2-termen är positiv. Det betyder att förstaderivatans har en minpunkt vid x = 3.

Då är andraderivatan alltså negativ till "vänster" om symmetrilinjen och positiv till "höger" om symmetrilinjen.

Vad blir då svaret?

x=-1 och x= 1

Nej.

Förstår du varför andraderivatan byter tecken vid förstaderivatans symmetrilinje?

Yngve skrev :

Nej.

Förstår du varför andraderivatan byter tecken vid förstaderivatans symmetrilinje?

ja för det är en positiv koefficient framför x

Kan du beskriva det med egna ord?

Vad har förstaderivatan för form? Vad innebär symmetrilinjen? Var ligger symmetrilinjen?

Yngve skrev :

Kan du beskriva det med egna ord?

Vad har förstaderivatan för form? Vad innebär symmetrilinjen? Var ligger symmetrilinjen?

första derivatan är som en glad mun, har alltså positivt tal framför x:et 

symetrilinjen är den linje som skär rakt igenom bågen 

Bra. 

Jag antar att du menar:

... har alltså positivt tal framför x^2-termen

Förstaderivatans symmetrilinje ligger vid x = 3.

Förstaderivatan har en minpunkt vid x = 3.

Till vänster om x = 3 har alltså förstaderivatan en nedförsbacke och till höger om x = 3 har förstaderivatan en uppförsbacke.

Då x < 3 så är andraderivatan alltså negativ.

Andraderivatan byter tecken vid x = 3.

Var är andraderivatan alltså positiv?

Yngve skrev :

Bra. 

Jag antar att du menar:

... har alltså positivt tal framför x^2-termen

Förstaderivatans symmetrilinje ligger vid x = 3.

Då x < 3 så är andraderivatan negativ.

Andraderivatan byter tecken vid x = 3.

Var är andraderivatan alltså positiv?

vid x=3 

så då det står att jag ska ange för vilket värde på x som f'(x)=0 svarar jag endast där x=1 och x=5 

och om jag ska ange för vilket värde på x som f'(x)<0 svarar jag 1 < x < 5.

och om jag ska ange vilket värde på x som f''(x)>0  0<x<3

är ovansatående sammanställning korrekt om det frågas på exakt det viset?

Nej. Läs igen. 

Då x < 3 så är andraderivatan negativ.

Då x = 3 så är andraderivatan lika med 0.

Var är andraderivatan större än 0?

Yngve skrev :

Nej. Läs igen. 

Då x < 3 så är andraderivatan negativ.

Då x = 3 så är andraderivatan lika med 0.

Var är andraderivatan större än 0?

då x <3 men x>0 

alltså mellan intervallet 0<x<3 

elevensombehöverhjälp skrev :

Yngve skrev :

Nej. Läs igen. 

Då x < 3 så är andraderivatan negativ.

Då x = 3 så är andraderivatan lika med 0.

Var är andraderivatan större än 0?

då x <3 men x>0 

alltså mellan intervallet 0<x<3 

elevensombehöverhjälp skrev :

elevensombehöverhjälp skrev :

Visa föregående citat

Yngve skrev :

Nej. Läs igen. 

Då x < 3 så är andraderivatan negativ.

Då x = 3 så är andraderivatan lika med 0.

Var är andraderivatan större än 0?

då x <3 men x>0 

alltså mellan intervallet 0<x<3 

så då det står att jag ska ange för vilket värde på x som f'(x)=0 svarar jag endast där x=1 och x=5 

och om jag ska ange för vilket värde på x som f'(x)<0 svarar jag 1 < x < 5.

och om jag ska ange vilket värde på x som f''(x)>0  0<x<3

det fet markerade är väll rätt du väll?

Nej.

Andraderivatan f''(x) är en rät linje som ligger under x-axeln då x < 3, korsar x-axeln då x = 3 och ligger över x-axeln då x > 3.

Med andra ord:

Då x < 3 så är andraderivatan negativ, dvs f''(x) < 0 då x < 3.

Då x = 3 så är andraderivatan lika med noll, dvs f''(x) = 0 då x = 3.

Då x > 3 så är andraderivatan större än noll, dvs f''(x) > 0 då x > 3. 

Det är viktigt att du förstår detta och varför det är så.

Yngve skrev :

Nej.

Andraderivatan f''(x) är en rät linje som ligger under x-axeln då x < 3, korsar x-axeln då x = 3 och ligger över x-axeln då x > 3.

 

Med andra ord:

Då x < 3 så är andraderivatan negativ, dvs f''(x) < 0 då x < 3.

Då x = 3 så är andraderivatan lika med noll, dvs f''(x) = 0 då x = 3.

Då x > 3 så är andraderivatan större än noll, dvs f''(x) > 0 då x > 3. 

 

Det är viktigt att du förstår detta och varför det är så.

men hallå nu blir ajg förvirrad, någon sa att de två längst upp var rätt, och jag utgick från det, nu har du skrivit helt och hållet något annat 

smaragdalena skrev :

Ja, det fetmarkerade är rätt.

och det markerade var just nedan:

så då det står att jag ska ange för vilket värde på x som f'(x)=0 svarar jag endast där x=1 och x=5 

och om jag ska ange för vilket värde på x som f'(x)<0 svarar jag 1 < x < 5.

och om jag ska ange vilket värde på x som f''(x)>0  vad svarar jag då?

och om jag ska ange vilket värde på x som f''(x)>0  skriver jag helt enkelt x>3 ? 

men var fick du trean ifrån???

Förlåt att jag var otydlig.

Det jag menade var att du inte hade rätt svar på den sista frågan, dvs "För vilka värden på x gäller det att f''(x) > 0?".

Men nu har du det. Svaret på den frågan är "f''(x) > 0 då x > 3".

Hängde du inte med på var trean kom ifrån?

Läs igen det där om förstaderivtans symmetrilinje.

Yngve skrev :

Förlåt att jag var otydlig.

Det jag menade var att du inte hade rätt svar på den sista frågan, dvs "För vilka värden på x gäller det att f''(x) > 0?".

Men nu har du det. Svaret på den frågan är "f''(x) > 0 då x > 3".

Hängde du inte med på var trean kom ifrån?

Läs igen det där om förstaderivtans symmetrilinje.

tack för tipset! 

svar: x>3 

klart!

Hej jag hänger med på alla punkter förutom på b). Jag har nu lärt mig att man också ska markera gränserna för intervallet, så f'(x)<0 (för vilka x gäller att derivatan är negativ) skriver ni att svaret är 1<x<5. Men ska det inte vara $1\le x\le 5$?

Leonhart skrev:

Hej jag hänger med på alla punkter förutom på b). Jag har nu lärt mig att man också ska markera gränserna för intervallet, så f'(x)<0 (för vilka x gäller att derivatan är negativ) skriver ni att svaret är 1<x<5. Men ska det inte vara $1\le x\le 5$?

Vad är lutningen då x = 1? Är detta tal mindre än 0?

Vad är lutningen då x = 5? Är detta tal mindre än 0?

Slutsats?

Yngve skrev:

Leonhart skrev:

Hej jag hänger med på alla punkter förutom på b). Jag har nu lärt mig att man också ska markera gränserna för intervallet, så f'(x)<0 (för vilka x gäller att derivatan är negativ) skriver ni att svaret är 1<x<5. Men ska det inte vara $1\le x\le 5$?

Vad är lutningen då x = 1? Är detta tal mindre än 0?

Vad är lutningen då x = 5? Är detta tal mindre än 0?

Slutsats?

I båda fallen är lutningen inte mindre än 0. Så  1<x<5 är rimligt, men i min förra tråd angående strängt avtagande/växande uppfattade jag det som att man i sådana intervaller ska inkludera x=1 samt x=5.

Leonhart skrev:

I båda fallen är lutningen inte mindre än 0. Så  1<x<5 är rimligt, men i min förra tråd angående strängt avtagande/växande uppfattade jag det som att man i sådana intervaller ska inkludera x=1 samt x=5.

Det beror på vad det är de frågar om.

I din förra tråd så efterfrågades de intervall i vilka $f(x)$ är avtagande (dvs de intervall i vilka $f'(x)\leq0$).

I denna tråd efterfrågas de intervall i vilka $f'(x)<0$ (dvs de intervall i vilka $f(x)$ är strängt avtagande).

De frågar alltså efter två olika saker.