Tredjegradsekvation med bestämda nollställen

Jag skulle börja med att derivera funktionen och sätta in nollställerna i funktionens derivata och det lika med noll, alltså: 

p’(-3) = 0 

p’(1) = 0

p’(5)=0 

Derivatan av funktionen blir p´(x)=3x²+2ax+b

om jag sätter p´(-3) = 0 får jag alltså att

3(-3)²+2a(-3)+b=0 

förstår inte alls vad detta ger mig för något

matte249 skrev :

Hej! Jag vet att jag kan bestämma nollställena för en funktion genom att derivera funktionen och sedan sätta f´(0) 

Men förstår inte hur jag ska göra med följande ekvation

p(x) = x³ + ax² + bx + c med nollställena -3, 1 och 5

uppgiften är att bestämma a, b och c

Nej detta har inget med derivata att göra.

Allmänt gäller att om $x_1$ är ett nollställe till ett polynom så är $(x-x_1)$ en faktor i polynomet.

Eftetsom du vet att $p(x)$ har nollställen -3, 1 och 5 så betyder det att $(x+3)$, $(x-1)$ och $(x-5)$ är faktorer i $p(x)$.

Det betyder att du kan skriva

$p(x)=k\cdot (x+3)(x-1)(x-5)$

Multiplicera ihop parenteserna och jämför med uttrycket som är givet så får du ekvationer för att bestämma k, a, b och c.

Ok, lägger jag ihop parenteserna får jag p(x) = k(x³-x²+3x-5)

Vart kom K ifrån?

Ska jag multiplicera med k också?

Vad gör jag härifrån?

Mvh

matte249 skrev :

Ok, lägger jag ihop parenteserna får jag p(x) = k(x³-x²+3x-5)

Vart kom K ifrån?

Ska jag multiplicera med k också?

Vad gör jag härifrån?

Mvh

Nej du ska multiplicera ihop parenteserna.

Uttrycket blir

$p(x)=k\cdot (x^2-x+3x-3)(x-5)$

$p(x)=k\cdot (x^2+2x-3)(x-5)$

$p(x)=k\cdot (x^3-5x^2+2x^2-10x-3x+15)$

$p(x)=k\cdot (x^3-3x^2-13x+15)$

$p(x)=kx^3-3kx^2-13kx+15k$

Detta uttryck ska vara lika med $x^3+ax^2+bx+c$

För att dessa två uttryck ska vara lika för alla möjliga värden på x så måste det vara

• lika många $x^3$-termer, dvs $k=1$
• lika många $x^2$-termer, dvs $-3k=a$
• lika många $x$-termer, dvs $-13k=b$
• lika många konstanttermer, dvs $15k=c$

Nu har du 4 enkla ekvationer för att bestämma värdet på de 4 obekanta konstanterna $k, a, b, c$.

---------------

$k$ är en konstant som påverkar den ledande koefficientens värde men som inte påverkar nollställenas placering.

Exempel: Polynomen

$(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ och $3(x-1)(x-2)=3x^2-9x+6$ har båda samma nollställen, men de skiljer sig med en faktor 3.

Därför är ett polynom inte helt bestämt endast av sina nollställen.

Ok jag har gjort samma uträkning som du och får samma svar men det är två saker jag inte förstår;

som du skrev så 

lika många x3-termer, dvs k=1k=1
lika många x2-termer, dvs −3k=a-3k=a
lika många x-termer, dvs −13k=b-13k=b
lika många konstanttermer, dvs 15k=c

Men här har vi värdena -3, -13 samt 15

och de värden som ges i uppgiften är -3, 1 och 5?

Jag förstår inte heller riktigt det här att x-ett nollställe är en faktor, varför blir det det? Kan du ge något förklarande exempel? (jag förstår hur du menar med att faktorerna ska multipliceras ihop får att få samma summa och ekvation som orginalekvationen)

Mvh

Mvh

matte249 skrev :

Ok jag har gjort samma uträkning som du och får samma svar men det är två saker jag inte förstår;

som du skrev så 

lika många x3-termer, dvs k=1k=1
lika många x2-termer, dvs −3k=a-3k=a
lika många x-termer, dvs −13k=b-13k=b
lika många konstanttermer, dvs 15k=c

Men här har vi värdena -3, -13 samt 15

och de värden som ges i uppgiften är -3, 1 och 5?

Ja det stämmer. Du måste skilja på nollställena för ett polynom p(x) och polynomets koefficienter.

-3, 1 och 5 är polynomets nollställen, dvs de värden på x för vilka polynomet har värdet 0.

Polynomets koefficienter är 1, -3, -13 och 15. Detta är de värden som står framför $x^3, x^2, x$ och konstanttermen respektive.

Allmänt gäller alltså att nollställena för ett polynom p(x) är de värden på x för vilka polybomet har värdet 0.

Exempel 1: Polynomet $p(x)=x-4$ har ett nollställe, nämligen $x_1=4$, eftersom ekvationen $p(x)=0$ har lösningen $x_1=4$. Pröva så får du se att $p(4)=0$. Polynomet $p(x)$ är redan faktoriserat som $p(x)=(x-x_1)=(x-4)$.

Exempel 2: Andragradspolynomet $p(x)=x^2-3x+2$ har två nollställen, nämligen $x_1=1$ och $x_2=2$, eftersom ekvationen $p(x)=0$ har lösningarna .$x_1=1$ och $x_2=2$. Pröva så får du se att $p(1)=p(2)=0$. Polynomet $p(x)$ kan faktoriseras som $p(x)=(x-x_1)(x-x_2)=(x-1)(x-2)$. 

Nu till vårt exempel: Polynomet $p(x)=x^3-3x^2-13x+15$ har tre nollställen, nämligen $x_1=-3$, $x_2=1$ och $x_3=5$, eftersom ekvationen $p(x)=0$ har lösningarna $x_1=-3$, $x_2=1$ och $x_3=5$. Pröva så får du se att $p(-3)=p(1)=p(5)=0$. Polynomet $p(x)$ kan faktoriseras som $p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x+3)(x-1)(x-5)$.

Jag förstår inte heller riktigt det här att x-ett nollställe är en faktor, varför blir det det? Kan du ge något förklarande exempel? (jag förstår hur du menar med att faktorerna ska multipliceras ihop får att få samma summa och ekvation som orginalekvationen)

Mvh

Mvh

Detta följer nollproduktmetoden som säger att om en produkt har värdet noll så måste minst en av faktorerna ha värdet 0. För vårt polynom $p(x)=x^3-3x^2-13x+15=(x+3)(x-1)(x-5)$ så gäller att produkten består av faktorerna $(x+3)$, $(x-1)$ och $(x-5)$. För att produkten p(x) ska få värdet 0 måste minst en av faktorerna ha värdet 0, vilket innebär att antingen är $x=-1$, $x=3$ eller så är $x=5$.

Ok jag förstår! Tack för hjälpen.

Menar du att värdet på x blir 0 när det tal(parentes) den sitter i blir summan 0?

Nej, y-värdet  p(x) blir 0 när x-värdet är sådant att någon av parenteserna får värdet 0.

EDIT: Det var inte y i den här uppgiften, utan p(x).