Tredjegradsekvation
"En tillverkare av avancerade robotleksaker uppskattar att hans dagliga kostnad i tusental kr kan beskrivas med funktionen K(x) = x³ - 6x² + 13x + 15 och den dagliga intäkten i tusental kr av funktionen I(x) = 28x där x är antalet leksaker."
Först och främst skulle jag avgöra hur många leksaker han bör tillverka och sälja per dag för att få maximal vinst, samt hur stor den maximala vinsten är. Detta fick jag helt enkelt genom att sätta
K(x) - I(x), dvs 28x - (x³-6x²+13x+15). Jag fick då -x³+6x²+15x -15. Denna funktion deriverade jag sedan: -3x² + 12x + 15 för att sedan sätta f'(x) = 0 för att få fram hur många leksaker han bör tillverka och sälja för maximal vinst. Jag fick fram 5 (Vilket är rätt) och satte in 5 i funktionen för att få fram hur stor hans maximala vinst är och fick då fram 85 000 kr (vilket är rätt). Nu den sista frågan: "Hur många leksaker måste han tillverka och sälja per dag för att gå med vinst". Så jag antar att han går med vinst så länge funktionen är växande och skulle då gissa på att han går i vinst när han säljer upp till 5 leksaker per dag, men detta stämmer inte överens med facit.
Ska jag istället kolla på K(x)-I(x) = 0, dvs -x³+6x²+15x -15 = 0 för att få fram intervallet och hur löser jag isåfall en tredjegradsekvation?
Ja, du har rätt i att man måste lösa tredjegradsekvationen för att få fram intervallet då tillverkaren går med vinst. Tredjegradsekvationen har inga rationella lösningar, så jag tvivlar på att det är tänkt att man ska lösa den med exakta metoder. Du får nog approximera rötterna på något sätt (t.ex. Newtons metod eller grafräknare).
Vad säger facit att svaret ska vara?
Eller så kan man ju helt enkelt pröva sig fram i detta fall. Det är ju en diskret funktion så man behöver ju som mest prova med 1, 2 3, 4 ifall man vill vara säker på att ingen av dessa ger ett negativt värde. Sedan kan man konstatera att han går med vinst från första leksaken.
Svaret säger att han går i vinst i intervallet 1 < x < 7. Så det är bara att testa sig fram?
Tack!!
Ja, eller så använder du dig av din grafritande räknare och ser att vinstkurvan blir positiv strax före ett och negativ igen strax före 8. Kom också ihåg att det är en diskret funktion.
Sedan kan man ifrågasätta frågan, jag tolkar den som om det bara skulle behövas att visa minsta antalet. Frågan är också vad som är definitionsmängd för modellen?
