Tredjegrads ekvationer

$x^3-6i{x}^2-11x+i6=0$ Har inga reella nollställen. Men du kanske menar en 3:e-gradsekvation med reella koefficienter.

Edit: lättare exempel:  $x^3+3x+2i=0$

Ja ifall tredjegrads ekvationen har reela koeffecienter varför kan den inte ha 0 reela noll ställen? 

Varje nollställe kan skrivas som a+bi
Om du har 3 sådana nollställen blir din ekvation $k(x-a_1-b_{1}i)(x-a_2-b_{2}i)(x-a_3-b_{3}i)=0$
När du multiplicerar ihop paranteserna kommer du alltid få  $b_1{b}_2{b}_3{i}^3$som inte är reellt om inga av b:na är 0.

Man kan också tänka på hur kurvan till en tredjegradare ser ut. Ena änden sticker mot $+\infty$, andra änden mot $-\infty$. Det går inte att göra utan att skära x-axeln nånstans på vägen, vilket blir ett reellt nollställe.

Fotbollskillen12 skrev:

Ja ifall tredjegrads ekvationen har reela koeffecienter varför kan den inte ha 0 reela noll ställen? 

Halloj!

Det korta svaret är att komplexa nollställen alltid kommer i par för ekvationer med reella koefficienter. T.ex skulle en tredjegradare kunna ha 3 stycken reella nollställen, men för en annan tredjegradare kanske du råkar hitta ett komplext nollställe då vet du att den kommer ha ett till komplext nollställe i och med att de kommer i par, det sista nollstället kommer då vara reellt.

Du kan därmed inte ha tre stycken komplexa nollställen eftersom de inte är i par.

Till din sista fråga så kommer komplexa nollställen alltid som konjugat till varandra när koefficienterna är reella.

Fast varför måste de alltid förekomma i par? 

Ja, antag att vi har ett polynom f(x), det gäller att om f(x) har reella koefficenter och en rot till ekvationen är komplex så är även komplexkonjugatet en rot till f(x).

Varför de förkommer vet jag inte om man går igenom i matte 4, men principen är att om du konjugerar ett godtyckligt polynom och använder konjugatregeln så kommer du snabbt se att det är så.

Antag att vi har ett polynom $p(z)=a_nz^n+...+a_1z+a_0$ som har nollstället $z_0$
$p(z_0)=a_nz^n_0+...+a_1z_0+a_0 =0 \implies 0=\overline{0}=\overline{p(z_0)}=\overline{a_nz^n_0+...+a_1z_0+a_0}$ och använder vi konjugatregeln så fås:
$a_n \overline{z}^n_0+...+a_1 \overline{z_0} +a_0 = p(\overline{z_0})$
Notera även att koefficenterna är reella.