Tredjegrad

Hej, kan någon hjälpa mig att komma fram till svaret på dessa två uppgifter:

a) $z^{3} = 1 + i$

b) $z^{3} = i \sqrt{3} - 1$

Jag vet hur man löser uppgiften av exempelvis $z^{3} = i$ men när man inte bara har i kvar i HL krånglar det till lite.

Jag började med att göra som i fallet med i ensamt i HL och satte $r^{3} e^{1 + i 3 θ} = e^{1 + i π / 2}$

Sedan satte jag i nästa steg $r^{3} = 1$ men får problem med $3 θ$ som i fallet med i ensamt i HL blev pi/2 och sedan dividerades med 3 och fick pi/6 men nu när jag har i plus ett vet jag inte hur jag ska göra.

Gå över till polära koordinater. Då vet du att beloppet för z är tredje roten ur beloppet för z^3, och argumentet för z är 1/3 av argumentet för z^3.

okej, argumentet för 1+i är pi/4 så en tredjedel av pi/4 blir ju pi/12

Rätt. Och absolutbeloppet?

blir det inte $\sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$

För 1+i, ja, men för tredjeroten z då?

ska man inte bara ta att sätta $\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \Rightarrow \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9}} \Rightarrow \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Nej. Du skall ta tredje roten ur absolutbeloppet för i+i.

Med andra ord: Om absolutbeloppet för z är lika med a så är absolutbeloppet för z^3 lika med a^3.

Eftersom du vet vad absolutbeloppet för z^3 är så får du en enkel ekvation för a.

Sedan finns det även två andra lösningar som du bör hitta.

okej så vi har att absolutbeloppet för 1+i är $\sqrt{2}$ om vi då ska ta tredjeroten av det blir det då alltså $\sqrt[3]{2}$ $\Rightarrow {(2^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6}}$

Ja, och som Yngve skrev finns det två andra lösnigar också - en tredjegradsekvation har ju tre lösningar.

okej, så första roten blir $2^{\frac{1}{6}} e^{i \frac{π}{12}}$

nu är jag med på hur dom kommer fram till 2^1/6 men var får dom pi/12 från?

Jursla skrev :
okej, så första roten blir $2^{\frac{1}{6}} e^{i \frac{π}{12}}$
nu är jag med på hur dom kommer fram till 2^1/6 men var får dom pi/12 från?

Du har ju skrivit det själv?

Jursla skrev :
okej, argumentet för 1+i är pi/4 så en tredjedel av pi/4 blir ju pi/12

För att hitta de andra två lösningarna är det vettigt att rita ut 1 + i i det komplexa talplanet och sedan fundera på vilka vinklar mellan 0 och 2pi som, multiplicerade med 3, blir pi/4 (+ n* 2pi).

Svara

Visa senaste svar