Tre lika stora integraler

Rita ut vilken area ${\int }_5^{6}f\left(x\right)dx$motsvarar i figuren

Sen bör du lätt kunna hitta a genom att utnyttja att funktionen är symmetrisk.

b blir lite värre

henrikus skrev:

Rita ut vilken area ${\int }_5^{6}f\left(x\right)dx$motsvarar i figuren

Sen bör du lätt kunna hitta a genom att utnyttja att funktionen är symmetrisk.

b blir lite värre

Menar du att den undre gränsen för den tredje integralen är 5? Jag tycker den ser ut att vara b.

Vi har intervallet [0, 6] och vi har två tal a och b där a < b. Vi ska alltså dela upp triangeln på ett sådant sätt att arean av grafen från [0, a] ska vara lika med arean från [a, b] som i sig också ska vara lika med [b, 6]. Vi får alltså 3 olika areor/intervall som alla ska vara lika, det kanske finns ett mycket enklare sätt och jag kanske överkomplicerar, men vi kan beskriva den styckvis linjära grafen som:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x, då 0\le x\le 3\\ -2x+12, då 3<x\le 6 \end{array}\right.$, -2x+12 kan man klura ut då lutningen är -2 och m-värdet fås av y(6)=0

Vi kan då säga att ${\int }_0^{a}2x dx=6 \Rightarrow a^2=6 \Rightarrow a=\sqrt{6}$, vi kan kontrollera om detta stämmer genom att kolla av just detta delintervall: $\frac{bh}{2} \Rightarrow \frac{\sqrt{6}(2\sqrt{6)}}{2}=6$vilket är en tredjedel av hela arean, så detta verkar stämma perfekt. 

$\left(2\sqrt{6}\right)$eftersom att funktionen är ju 2x, och höjden i just den punkten blir då $f\left(\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6}.$

Intervallet [a, b] blir lite klurigare då funktionen går från 2x till -2x, men då behöver man dra en lodrätt linje precis i mitten (x=3) där grafen ändras och då blir det två olika fall, från a till den lodrätta linjen (3) och sedan från 3 till b, dvs 2 integraler som adderas. Sedan på sista intervallet [b, 6] så gör man samma sak som första delintervallet.

Lös ekvationen ${\int }_0^{a}f\left(x\right)dx=6$där f(x) är den räta linje som går genom punkterna (0,0) och (3,6). Då får du fram värdet på a. Av symmetriskäl är b = 6-a.

Ett sätt att angripa problemet och som inte ger något onödigt beräkningsarbete är följande:

Jag tror att jag börjar fatta nu. Dock får jag problem när jag ska ta reda på b (se längst ner på bilden). @MathematicsDEF var det såhär du menade? 

Laura2002 skrev:

Jag tror att jag börjar fatta nu. Dock får jag problem när jag ska ta reda på b (se längst ner på bilden). @MathematicsDEF var det såhär du menade? 

Från a till 3 blev det lite konstigt, när du stoppar in $\sqrt{6}$i  $x^2$ så får du ju bara 6 kvar.

Vi får ju två olika positiva svar på b på grund av +/-, men en av de kommer och vara större än 6, och det kan ju inte vara en lösning då et är bortom vår triangel helt och hållet, så välj det andra värdet för b. Förutom det ser det rätt ut, ersätter du bara $\sqrt{6}$med $6$ så får du rätt svar på vad b är.

Så då vet vi vad a och b är, jag provade precis själv att se om det stämmer genom att dela upp mittenarean av triangeln så att vi får två rektanglar och två trianglar, räkna ut de fyra areorna med hjälp av a och b som vi nu vet och jag fick exakt 6 som svar, så det verkar stämma :)

Laplace skrev:

Ett sätt att angripa problemet och som inte ger något onödigt beräkningsarbete är följande:

Det där är förstås en mycket enklare och mer elegant metod, men jag var osäker om den funkar då du har 3 okända (a, b och p). Man kan ju sätta upp ett system av ekvationer, men det blev lite rörigt.

A1 är lika med arean av en triangel med basen a och höjden f(a). Vi ser på bilden att f(x) = 2x. Vi har räknat ut att arean A1 har storleken 6 ae. Vi får alltså ekvationen 6 = (x^.2x)/2 som kan förenklas till x² = 6. 

Tror jag förstår den nu. Tack för all hjälp!