Tre halvcirklar för priset av ett

Du kanske kan avgöra om trianglarna är likformiga. Sedan rita ut dem separat i fall de är likformiga samt sätta längderna på deras sidor. Då kan du använda likformighet som du vill.

Är det här årskurs 9?

Det känns som att det saknas information. Vet man inget om de tre halvcirklarnas proportioner?

Den verkar gå att lösa tror jag... man måste göra en hjälptriangel.

Har ni lärt er pythagoras sats?

JohanF skrev:

Den verkar gå att lösa tror jag... man måste göra en hjälptriangel.

Har ni lärt er pythagoras sats?

Blir du hjälpt av figuren nedan? Jag satte radien på den största cirkeln till x.

(EDIT. men jag råkade skriva fel i bilden. den lilla sträckan ska vara $\sqrt{x^2-4}$)

Har du inte löst problemet nu? Nu kan du uttrycka alla cirklars radie i termer av x. Sen beräknar du areorna av halvcirklarna och utför subtraktionen för att få det skuggade området.

Hur ska jag uttrycka den lilla halvcirkelns radie i termer av x? Så som JohanF har visat det borde radien bli ett.

Sebtheman skrev:

Hur ska jag uttrycka den lilla halvcirkelns radie i termer av x? Så som JohanF har visat det borde radien bli ett.

Såhär:

Största halvcirkel diameter: $2x$

Mellan halvcirkel diameter: $x+\sqrt{x^2-4}$

Liten halvcirkel diameter:$x-\sqrt{x^2-4}$

Stora cirkelns radie är okänd (större än 2), men det visar sig att radien inte spelar någon roll. Något otippat kanske. 

Peter skrev:

Har du inte löst problemet nu? Nu kan du uttrycka alla cirklars radie i termer av x. Sen beräknar du areorna av halvcirklarna och utför subtraktionen för att få det skuggade området.

Problemet är att jag har suttit fast vid följande multiplikationer.

Jag vet att det kan tycka att det är irriterande, men min lärare vill inte lära ut sådant här. Ändå förväntar hon sig att man ska lyckas, men tillbaka till problemet.

Det är de här multiplikationerna som jag inte kan lösa:

Just det. Allting ska divideras med två sedan, eftersom de är halvcirklar.

Så här borde väl multiplikationerna se ut:

Sebtheman skrev:

Så här borde väl multiplikationerna se ut:

Ja, stämmer. Och vad är arean på största halvcirkeln?

Vet någon hur jag ska räkna ut de här två multiplikationerna, som ni ser på bilden ovan? Utan de kan jag inte lösa uppgiften.

JohanF skrev:

Sebtheman skrev:

Så här borde väl multiplikationerna se ut:

Ja, stämmer. Och vad är arean på största halvcirkeln?

Tack Johan, men jag vet inte hur jag ska lösa de två multiplikationerna på bilden.

Förresten, arean på den största halvcirkeln blir x²/2 multiplicerat med pi.

Sebtheman skrev:

Vet någon hur jag ska räkna ut de här två multiplikationerna, som ni ser på bilden ovan? Utan de kan jag inte lösa uppgiften.

halv liten cirkel:

$\frac{{\left(\frac{\mathrm{x}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}}{2}\right)}^2·\mathrm{\pi }}{2}={\left(\frac{x-\sqrt{x^2-4}}{2}\right)}^2·\frac{\mathrm{\pi }}{2}=\frac{{\left(\mathrm{x}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}\right)}^2}{4}·\frac{\mathrm{\pi }}{2}={\left(\mathrm{x}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}\right)}^2·\frac{\mathrm{\pi }}{8}=({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}+{\mathrm{x}}^2-4)·\frac{\mathrm{\pi }}{8}=(2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}-4)·\frac{\mathrm{\pi }}{8}$

Den som är mellanstor då?

Varför blir det dividerat med fyra?

JohanF skrev:

Sebtheman skrev:

Vet någon hur jag ska räkna ut de här två multiplikationerna, som ni ser på bilden ovan? Utan de kan jag inte lösa uppgiften.

halv liten cirkel:

$\frac{{\left(\frac{\mathrm{x}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}}{2}\right)}^2·\mathrm{\pi }}{2}={\left(\frac{x-\sqrt{x^2-4}}{2}\right)}^2·\frac{\mathrm{\pi }}{2}=\frac{{\left(\mathrm{x}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}\right)}^2}{4}·\frac{\mathrm{\pi }}{2}={\left(\mathrm{x}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}\right)}^2·\frac{\mathrm{\pi }}{8}=({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}+{\mathrm{x}}^2-4)·\frac{\mathrm{\pi }}{8}=(2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}-4)·\frac{\mathrm{\pi }}{8}$

På samma sätt blir halv mellan cirkel:

$2x^2+2x\sqrt{x^2-4}-4)·\frac{\mathrm{\pi }}{8}$

halv stor cirkeln blir $\frac{x^2}{2}·\mathrm{\pi }$

Om du summerar arean av de två mindre halvcirklarna, samt subtraherar detta ifrån den stora halvcirkeln  så kommer du se att alla x försvinner och kvar blir bara $\mathrm{\pi }$.

Jag håller med om att denna uppgift måste vara överkurs för åk9. Men det kanske finns något lättare sätt att lösa den på?

Ska jag multiplicera pi delat med åtta i alla x-termer eller bara göra ett långt bråkstreck?

Sebtheman skrev:

Ska jag multiplicera pi delat med åtta i alla x-termer eller bara göra ett långt bråkstreck?

Jag tycker det är enklast att hålla ”delat-med-8” utanför parentesen. Det är så lätt att bli förvirrad om man har för mycket divisionstecken. Men det är smaksak. På slutet kan du multiplicera varje term med pi/8 så ser du lättare att det mesta försvinner.

Tack så fasansfullt mycket Johan! 

Det säger jag även om det tog femton minuter för mig att räkna ut den där krångliga subtraktionen. 

Kan du också försöka lösa mitt andra problem?

För att lösa den här uppgiften räcker det med kvadreringsregel ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$ , likformighet och Thales sats. Man kan lösa uppgiften med enbart kordasatsen och samma kvadreringsregel. Med likformighet. Dra linjer från randen där den linjen med 2 l.e storlek ligger till ändpunkterna i diametern. Då får man 3 trianglar som är alla likformiga då enligt Thales sats är den största triangeln rätvinklig. Eftersom en av de mindre trianglar och den stora har en gemensam vinkel förutom den räta så är båda likformiga. Samma gäller för den andra småa triangeln, den och den stora triangeln har två vinklar gemensamt däremot måste den tredje vinkeln också vara lika. Då, om den båda småa trianglar i för sig och den stora är likformiga så är de också likformiga. Sätt den ena halvcirkel radie som $r_1$ och den andra $r_2$. Enligt likformighet gäller följande samband $\frac{2*r_1}{2}=\frac{2}{2*r_2}\iff r_1*r_2=1$ Den skuggade områdets area kan räknas med $A= \frac{\mathrm{\pi }{(r}^{}}{}$₁+r₂)22-πr222-πr212=π*r21+2πr1r2+πr22-πr22-πr212=2πr1r22=πr1r2 .  Man ersätter $r_1{r}_2$ och får $\mathrm{\pi }*{\mathrm{r}}_1*{\mathrm{r}}_2=1*\mathrm{\pi }=\mathrm{\pi }$ areaenheter. Lösningen med kordasatsen kan du klura själv. Att behöva sådana satser som är överkurs för matematiken i årskurs 9 beror på att denna fråga kommer från en matte-tävling som heter Pythagoras Quest.

Kan du också försöka lösa mitt andra problem?

Sebtheman, det står i Pluggakutens regler att du inte får tjata på någon att hen skall titta på dina trådar/lösa dina uppgifter /och så vidare. /moderator

Smaragdalena skrev:

Kan du också försöka lösa mitt andra problem?

Sebtheman, det står i Pluggakutens regler att du inte får tjata på någon att hen skall titta på dina trådar/lösa dina uppgifter /och så vidare. /moderator

Förlåt, jag hade glömt den regeln. Jag är en väldigt glömsk person.

Lunatic0 skrev:

För att lösa den här uppgiften räcker det med kvadreringsregel ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$ , likformighet och Thales sats. Man kan lösa uppgiften med enbart kordasatsen och samma kvadreringsregel. Med likformighet. Dra linjer från randen där den linjen med 2 l.e storlek ligger till ändpunkterna i diametern. Då får man 3 trianglar som är alla likformiga då enligt Thales sats är den största triangeln rätvinklig. Eftersom en av de mindre trianglar och den stora har en gemensam vinkel förutom den räta så är båda likformiga. Samma gäller för den andra småa triangeln, den och den stora triangeln har två vinklar gemensamt däremot måste den tredje vinkeln också vara lika. Då, om den båda småa trianglar i för sig och den stora är likformiga så är de också likformiga. Sätt den ena halvcirkel radie som $r_1$ och den andra $r_2$. Enligt likformighet gäller följande samband $\frac{2*r_1}{2}=\frac{2}{2*r_2}\iff r_1*r_2=1$ Den skuggade områdets area kan räknas med $A= \frac{\mathrm{\pi }{(r}^{}}{}$₁+r₂)22-πr222-πr212=π*r21+2πr1r2+πr22-πr22-πr212=2πr1r22=πr1r2 .  Man ersätter $r_1{r}_2$ och får $\mathrm{\pi }*{\mathrm{r}}_1*{\mathrm{r}}_2=1*\mathrm{\pi }=\mathrm{\pi }$ areaenheter. Lösningen med kordasatsen kan du klura själv. Att behöva sådana satser som är överkurs för matematiken i årskurs 9 beror på att denna fråga kommer från en matte-tävling som heter Pythagoras Quest.

Hej!

För det första, jag vet inte vad Thales sats är.

För det andra, kan du visa vad du menar genom att ta ett kort?