transponatet som invers? (Matematik/Universitet)

Hej!

En kvadratisk matris $A$ är ortogonal om det gäller att $AA^{t} = A^{t}A = 1.$

En kvadratisk matris $A$ är inverterbar om det finns en matris $A^{-1}$ sådan att $AA^{-1}=A^{-1}A=1.$ Den inversa matrisen $A^{-1}$ är unik för $A$ . På grund av detta är $A^{t}$ och $A^{-1}$ samma matris.

Albiki skrev:
Hej!
En kvadratisk matris $A$ är ortogonal om det gäller att $AA^{t} = A^{t}A = 1.$
En kvadratisk matris $A$ är inverterbar om det finns en matris $A^{-1}$ sådan att $AA^{-1}=A^{-1}A=1.$ Den inversa matrisen $A^{-1}$ är unik för $A$ . På grund av detta är $A^{t}$ och $A^{-1}$ samma matris.

Varför är en kvadratisk matris ortogonal om AA^t=1?

Definition. Man kallar två kvadratiska matriser ortogonala om det gäller att AA^t=1.

Det går lika bra att definiera en ortogonal matris som en matris vars kolonner är parvis ortogonal och att alla kolonner har längd 1. Då kan man visa att $A^{T} A$ $= I$ genom att helt enkelt skriva matrismultiplikationen som en skalärprodukt. Betrakta t ex fallet då A är en 3x3 matris, nxn behandlas analogt,(Notera a,b,c är matrisen A:s kolonner) $A = [\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}], A^{T} = [\begin{matrix} \bar{a^{T}} \\ \bar{b^{T}} \\ \bar{c^{T}} \end{matrix}]$ , så $A^{T} A = [\begin{matrix} a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \\ \bar{c} \cdot a & c \cdot b & c \cdot c \end{matrix}] = I$

parveln skrev:
Det går lika bra att definiera en ortogonal matris som en matris vars kolonner är parvis ortogonal och att alla kolonner har längd 1. Då kan man visa att $A^{T} A$ $= I$ genom att helt enkelt skriva matrismultiplikationen som en skalärprodukt. Betrakta t ex fallet då A är en 3x3 matris, nxn behandlas analogt,(Notera a,b,c är matrisen A:s kolonner) $A = [\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}], A^{T} = [\begin{matrix} \bar{a^{T}} \\ \bar{b^{T}} \\ \bar{c^{T}} \end{matrix}]$ , så $A^{T} A = [\begin{matrix} a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \\ \bar{c} \cdot a & c \cdot b & c \cdot c \end{matrix}] = I$

Ser att det stämmer nu med skalärprodukten i matrismultiplikationen, men hur kommer det sig att jag kan använda den där? jag skulle väll visa A transponat gånger A?

När du matrismultiplicerar för att få tex element 1,1 i den nya matrisen. Multiplicerar du ju elementen i rad 1 från A-transponat med elementen i kolonn 1 från A. Detta kan man skriva som en skalärmultiplikation. Se här t ex https://mathinsight.org/dot_product_matrix_notation

lamayo skrev:
Albiki skrev:
Hej!
En kvadratisk matris $A$ är ortogonal om det gäller att $AA^{t} = A^{t}A = 1.$
En kvadratisk matris $A$ är inverterbar om det finns en matris $A^{-1}$ sådan att $AA^{-1}=A^{-1}A=1.$ Den inversa matrisen $A^{-1}$ är unik för $A$ . På grund av detta är $A^{t}$ och $A^{-1}$ samma matris.
Varför är en kvadratisk matris ortogonal om AA^t=1?

Det jag skrev i mitt inlägg är definitioner av begreppen ortogonal matris och inverterbar matris.

Smaragdalena skrev:
Definition. Man kallar två kvadratiska matriser ortogonala om det gäller att AA^t=1.

För det första är det där en matris A och för det andra är ortogonal matris inte ett relativt begrepp. Sedan räcker det inte att kräva av en kvadratisk matris att AA^t=1 utan det måste även gälla att A^tA=1.

Albiki skrev:
Smaragdalena skrev:
Definition. Man kallar två kvadratiska matriser ortogonala om det gäller att AA^t=1.
För det första är det där en matris A och för det andra är ortogonal matris inte ett relativt begrepp. Sedan räcker det inte att kräva av en kvadratisk matris att AA^t=1 utan det måste även gälla att A^tA=1.

Om man har kvadratiska matriser gäller väl $A B = I \Leftrightarrow B A = I$

parveln skrev:
Albiki skrev:
Smaragdalena skrev:
Definition. Man kallar två kvadratiska matriser ortogonala om det gäller att AA^t=1.
För det första är det där en matris A och för det andra är ortogonal matris inte ett relativt begrepp. Sedan räcker det inte att kräva av en kvadratisk matris att AA^t=1 utan det måste även gälla att A^tA=1.
Om man har kvadratiska matriser gäller väl $A B = I \Leftrightarrow B A = I$

Nej. Kvadratiska matriser behöver inte kommutera.

De kommuterar inte i allmänhet, men i specialfallet med enhetsmatrisen. Se t ex här

parveln skrev:
De kommuterar inte i allmänhet, men i specialfallet med enhetsmatrisen. Se t ex här

Varför skulle A vara inverterbar bara för att AB=1?

Se sista punkten på invertible matrix theorem

Albiki skrev:
lamayo skrev:
Albiki skrev:
Hej!
En kvadratisk matris $A$ är ortogonal om det gäller att $AA^{t} = A^{t}A = 1.$
En kvadratisk matris $A$ är inverterbar om det finns en matris $A^{-1}$ sådan att $AA^{-1}=A^{-1}A=1.$ Den inversa matrisen $A^{-1}$ är unik för $A$ . På grund av detta är $A^{t}$ och $A^{-1}$ samma matris.
Varför är en kvadratisk matris ortogonal om AA^t=1?
Det jag skrev i mitt inlägg är definitioner av begreppen ortogonal matris och inverterbar matris.

Okej, så går det alltså inte att visa. Tack så mycket för hjälpen:)

Albiki skrev:
Hej!
En kvadratisk matris $A$ är ortogonal om det gäller att $AA^{t} = A^{t}A = 1.$
En kvadratisk matris $A$ är inverterbar om det finns en matris $A^{-1}$ sådan att $AA^{-1}=A^{-1}A=1.$ Den inversa matrisen $A^{-1}$ är unik för $A$ . På grund av detta är $A^{t}$ och $A^{-1}$ samma matris.

Varför behöver matrisen vara normerad utöver att den är ortogonal för att detta skall gälla? Är den inverterbar då (om matrisen också är kvadratisk)?

lamayo skrev:
Varför behöver matrisen vara normerad utöver att den är ortogonal för att detta skall gälla?

Man säger inte riktigt att matrisen är normerad utan att kolonnvektorerna utgör en ortonormerad bas. Alltså är de ortogonala normerade vektorer. Om dessa inte är normerade fås inte enhetsmatrisen utan någon diagonalmatris istället.

Ebola skrev:
lamayo skrev:
Varför behöver matrisen vara normerad utöver att den är ortogonal för att detta skall gälla?
Man säger inte riktigt att matrisen är normerad utan att kolonnvektorerna utgör en ortonormerad bas. Alltså är de ortogonala normerade vektorer. Om dessa inte är normerade fås inte enhetsmatrisen utan någon diagonalmatris istället.

Okej! Vad är det som gör att det inte blir enhetsmatrisen? Är det T*T^t som blir en diagonalmatris då?

lamayo skrev:
Ebola skrev:
lamayo skrev:
Varför behöver matrisen vara normerad utöver att den är ortogonal för att detta skall gälla?
Man säger inte riktigt att matrisen är normerad utan att kolonnvektorerna utgör en ortonormerad bas. Alltså är de ortogonala normerade vektorer. Om dessa inte är normerade fås inte enhetsmatrisen utan någon diagonalmatris istället.
Okej! Vad är det som gör att det inte blir enhetsmatrisen? Är det T*T^t som blir en diagonalmatris då?

För att skalärprodukterna av vektorerna som spänner upp matrisen inte blir 1. Du kan läsa mer här:

https://sv.wikipedia.org/wiki/Ortogonalmatris

lamayo skrev:
Albiki skrev:
lamayo skrev:
Albiki skrev:
Hej!
En kvadratisk matris $A$ är ortogonal om det gäller att $AA^{t} = A^{t}A = 1.$
En kvadratisk matris $A$ är inverterbar om det finns en matris $A^{-1}$ sådan att $AA^{-1}=A^{-1}A=1.$ Den inversa matrisen $A^{-1}$ är unik för $A$ . På grund av detta är $A^{t}$ och $A^{-1}$ samma matris.
Varför är en kvadratisk matris ortogonal om AA^t=1?
Det jag skrev i mitt inlägg är definitioner av begreppen ortogonal matris och inverterbar matris.
Okej, så går det alltså inte att visa. Tack så mycket för hjälpen:)

Jo, det är ju precis det som jag har gjort i mitt inlägg. Matrisen $A^{t}$ beter sig som invers matris gör och eftersom den inversa matrisen $A^{-1}$ är unik så följer det att $A^{t} = A^{-1}$ .

Juste så var det :), tack igen!