Transformteori -Differentialekvation m.h.a Laplacetransform

Jag ska lösa differentialekvationen nedan och får ett uttryck för Y(s) som jag gärna vill förenkla men är osäker på hur. Jag har

$Y (s) = \frac{2 e^{- 2 s}}{{(s + 1)}^{2} + 4} + \frac{1}{s ({(s + 1)}^{2} + 4)} + \frac{2 s}{{(s + 1)}^{2} + 4} + \frac{2}{{(s + 1)}^{2} + 4}$

Vore fint om du ville visa differentialekvationen.

Dina kalkyler på frekvenssidan verkar stämma, vad jag ser.

Inverstransformering: Jag tittar på varje term för sig.

$e^{-2s}\cdot \dfrac{2}{(s+1)^2+4}$ . Här har du en fördröjning på tidssidan, en dämpad sinus.

$\dfrac{1}{s(s^2+2s+5)}$ . Här måste du göra en partialbråksansats:

$\dfrac{A}{s}+\dfrac{Bs+C}{s^2+2s+5}$ , vilket ger oss en konstant plus dämpade sinus- och cosinustermer på tidssidan.

$\dfrac{2s}{(s+1)^2+4}$ . Gör omskrivning: $2\dfrac{s+{\color{red}1-1}}{(s+1)^2+4}=2\dfrac{s+1}{(s+1)^2+4}-\dfrac{2}{(s+1)^2+4}$ , dvs dämpade cosinus- och sinus.

Kan du fortsätta själv?

Ja, från partialbråksuppdelningen fick jag:

$A (s^{2} + 2 s + 5) + (B s + C) s = 1 \Leftrightarrow (A + B) s^{2} + (2 A + C) s + 5 A = 1$

och därmed A = 1/5, B = -1/5 och C = -2/5.

$Y (s) = \frac{1}{s ({(s + 1)}^{2} + 4)} = \frac{1}{5} \frac{1}{s} - \frac{1}{5} \frac{s}{({(s + 1)}^{2} + 4)} - \frac{2}{5} \frac{1}{({(s + 1)}^{2} + 4)}$

verkar ok. Glöm inte att fixa täljaren i cosinustermen. Jag demonstrerade det i mitt förra svar - rödmarkerat. Sen måste du fixa så att du får rätt täljarkonstant i sinustermen

$Y (s) = \frac{1}{5} \frac{1}{s} + 2 \frac{(s + 1)}{{(s + 1)}^{2} + 4} - \frac{2}{{(s + 1)}^{2} + 4} - \frac{1}{5} \frac{(s + 1)}{{(s + 1)}^{2} + 4} + \frac{1}{5} \frac{1}{{(s + 1)}^{2} + 4} - \frac{2}{5} \frac{1}{{(s + 1)}^{2} + 4} + \frac{2}{{(s + 1)}^{2} + 4} \Leftrightarrow Y (s) = \frac{1}{5} \frac{1}{s} + 2 \frac{(s + 1)}{{(s + 1)}^{2} + 4} - \frac{1}{5} \frac{(s + 1)}{{(s + 1)}^{2} + 4} - \frac{1}{5} \frac{1}{{(s + 1)}^{2} + 4} \Leftrightarrow Y (s) = \frac{1}{5} \frac{1}{s} + \frac{9}{5} \frac{s}{{(s + 1)}^{2} + 4} + \frac{8}{5} \frac{1}{{(s + 1)}^{2} + 4} s l u t l i g e n Y (s) = e^{- 2 s} \frac{2}{{(s + 1)}^{2} + 4} + \frac{1}{5} \frac{1}{s} + \frac{9}{5} \frac{s}{{(s + 1)}^{2} + 4} + \frac{8}{5} \frac{1}{{(s + 1)}^{2} + 4} .$

svårt att få en överblick om alla tecken stämmer... men vet vad facit säger iallafall. Tack för tips om att skriva om 2s till 2(s+1) -2 :) Tycker det är svårast sen att ta fram inverstransformen av tidsfördröjningen.

Beträffande termen $F(s)=e^{-2s}\cdot\dfrac{2}{(s+1)^2+4}$ . Bestäm $f(t)$

Tips: Studera $G(s)=F(s)$ utan exponentialterm.

$G(s)=\dfrac{2}{(s+1)^2+4}$ . Inverstranformering:

$g(t)=e^{-t}\sin (2t).$

Därefter: Multiplicera $G(s)$ med $e^{-2s}$ , dvs $F(s)=e^{-2s}\cdot\dfrac{2}{(s+1)^2+4}$ .

Tidsfördröjning 2 tidsenheter:

$f(t)=\Theta(t-2)\cdot e^{-(t-2)}\sin (2(t-2))$ ,

där $\Theta (t)$ är Heavisides stegfunktion.

OK?

Svara

Visa senaste svar