Transformation av trigonometriska funktioner
Jag stötte på en uppgift som lyder såhär:
Ett parishjul med radien 30meter snurrar ett varv på 3minuter. En person kliver på hjulet och efter 5 minuter stannar hjulet, hur långt över marken befinner sig personen?
Jag teckade en funktion h(t)=asin(bx+c)+d där h(t)=höjden över marken efter tid t, t=förfluten tid sedan personen steg på.
funktionen skulle ha följande egenskaper: period=3minuter, amplitud=30meter, vertikal förskjutning=30meter, och nu kommer problemet på det hela, jag vill att den horisontella förskjutningen ska vara -π/2 eftersom att personen stiger på vid marken. Vi lärde oss tidigare att tex sin(2x-20) inte hade en förskjutning på 20° utan 20/2=10°. Så allmänt att förskjutningen är b/c.
För att få period=3minuter så skulle b=2π/3, och om horis. förskjutningen samtidigt skulle vara π/2 så kan c inte helt enkelt vara lika med -π/2... Men c=-π/2 funkar faktiskt finfint, VARFÖR?!
PS funktionen är alltså a=30, b=2π/3, c=-π/2, d=30
Frågan är något oklar så ska försöka förklara hur man kan lösa uppgiften.
h(t) = r*sin(v(t) + c) + d
där r=radie, v=vinkel, c=vinkelns förskjutning, d=horisontell förskjutning
Du har i uppgiften fått att r=d=30 samt att vinkeln v(t)=t*2π/3
Vi uppdaterar formeln och får:
h(t) = 30*sin(t*2π/3 + c) + 30
Sen vet du att de stiger på vid botten av hjulet, detta ger att c = -π/2 då vinkeln ökar "motsols" om man tittar i xy-planet. Du kan skriva detta som 3π/2 om du vill du detta är samma vinkel, ett varv senare. (Tips här är att kolla på sin(x) för olika vinklar på t.ex. wolframalpha för att förstå dem).
Vi uppdaterar formeln igen och sätter sedan in önskad tid:
h(t) = 30*sin(t*2π/3 + -π/2) + 30
h(5) = 30*sin(5*2π/3 + -π/2) + 30 = 30*sin(17π/6) + 30 = 30*1/2 + 30 = 45
JonisL skrev :Frågan är något oklar så ska försöka förklara hur man kan lösa uppgiften.
h(t) = r*sin(v(t) + c) + d
där r=radie, v=vinkel, c=vinkelns förskjutning, d=horisontell förskjutning
Du har i uppgiften fått att r=d=30 samt att vinkeln v(t)=t*2π/3
Vi uppdaterar formeln och får:
h(t) = 30*sin(t*2π/3 + c) + 30
Sen vet du att de stiger på vid botten av hjulet, detta ger att c = -π/2 då vinkeln ökar "motsols" om man tittar i xy-planet. Du kan skriva detta som 3π/2 om du vill du detta är samma vinkel, ett varv senare. (Tips här är att kolla på sin(x) för olika vinklar på t.ex. wolframalpha för att förstå dem).
Vi uppdaterar formeln igen och sätter sedan in önskad tid:
h(t) = 30*sin(t*2π/3 + -π/2) + 30
h(5) = 30*sin(5*2π/3 + -π/2) + 30 = 30*sin(17π/6) + 30 = 30*1/2 + 30 = 45
Ja, men min fråga är liksom hur c=-π/2 gör att grafen blir förskjuten -π/2... I boken stod det att sin(2x+20) är förskjuten 10 grader och inte 20 för att sin(ax+b) ger en förskjutning på b/a grader
Jag tror att exempel två på denna sida kan vara förklaringen.
Där förklaras hur fasförskjutningen är -c/b. Med detta menas den längd i x-led som sinus-grafen är förskjuten <=> vilket värde x behöver ta för att komma till ursprungsläget att sin(bx+c) = sin(0). Det tar då hälften så stort värde på x för sin(2x + 20) att ta igen förskjutningen jämfört med vad det tar för sin(x + 20).
Vad gäller hur mycket det är förskjutet i vinkel det är så är det c, oavsett b-värde. Du kan tänka att i det läget x=0 spelar b-värdet ingen roll, därmed är c det enda värdet i sin, och det blir förskjutet med samma vinkel som värdet på c.
Jag skulle summera det till att det är två sorters förskjutningar det handlar om där den enda förskjutningen mäts som c, medans den andra mäts i -c/b.
JonisL skrev :Jag tror att exempel två på denna sida kan vara förklaringen.
Där förklaras hur fasförskjutningen är -c/b. Med detta menas den längd i x-led som sinus-grafen är förskjuten <=> vilket värde x behöver ta för att komma till ursprungsläget att sin(bx+c) = sin(0). Det tar då hälften så stort värde på x för sin(2x + 20) att ta igen förskjutningen jämfört med vad det tar för sin(x + 20).
Vad gäller hur mycket det är förskjutet i vinkel det är så är det c, oavsett b-värde. Du kan tänka att i det läget x=0 spelar b-värdet ingen roll, därmed är c det enda värdet i sin, och det blir förskjutet med samma vinkel som värdet på c.
Jag skulle summera det till att det är två sorters förskjutningar det handlar om där den enda förskjutningen mäts som c, medans den andra mäts i -c/b.
Du säger alltså fasförskjutning och förskjutning i vinkel inte är samma sak?! Det tycker jag låter konstigt, kan du utveckla på det?
De är beroende av varandra, så till viss del är det samma sak. Lite så som Fahrenheit och Celsius är två olika sätt att mäta temperatur.
Just det som din bok verkar prata om är inget jag haft användning av, skickar du en bild kanske jag kan förstå vad nyttan med det är.
JonisL skrev :De är beroende av varandra, så till viss del är det samma sak. Lite så som Fahrenheit och Celsius är två olika sätt att mäta temperatur.
Just det som din bok verkar prata om är inget jag haft användning av, skickar du en bild kanske jag kan förstå vad nyttan med det är.
Det i min bok använde de liksom för att tydliggöra det här med att c inte alltid är lika med fasförskjutningen.
Jag tror däremot att jag har klargjort inte för mig själv här. Det vi stoppar in i funktionen i det här fallet är ju tid, någon längd av tid, inte grader som jag annars är van vid. Anledningen till att c-π/2 funkar i det här fallet är för att det ger en 3/4minut förskjutning åt höger (=1/4minut åt vänster). Vi vill att -c/b=-3/4 och eftersom att vi vet att b=2π/3 ==> c=-π/2. Förskjutningen är alltså inte 90grader utan 3/4 minuter
Nu tror jag att jag vet vad boken menar med -c/b, förskjutning i antal perioder. Förskjutningen i grader är -π/2, fasförskjutningen i perioder är då -c/b = -(-π/2) / (2π/3) = 3/4 perioder av sinusvågen.
Du bör inte tänka något som en förskjutning i tid då det endast är en tillämpning i detta problem.
